Algèbre linéaire (Ker f et dimension d'un SEV)

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 12:08

Bonjour à tous,
Je suis en pleine révision de partiels, et ayant trouvé les sujets des années précédentes, mais sans les corrigés, je peine un peu.

Voilà le problème,
Soit

et f l'application de

dans

définie par

1°) Montrer que E est un SEV de

(ça c'est bon)
2°)Montrer que f est une application linéaire ( ça c'est bon aussi)
3°) À quelles conditions nécessaires et suffisantes le quadruplet (X,Y,Z,T) appartient-il à Imf? Montrer que Imf

E (on montrera que si (X,Y,Z,T) satisfait aux conditions précédentes, (X,Y,Z,T)

E).

Et là je bloque...

Merci d'avance pour votre aide

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 14:05

Pour la première question c'est la définition même de l'image d'une fonction
Pour la seconde il suffit de vérifier l'équation de E.

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 16:13

Je pense qu'il faut résoudre le système
x+y=X
y+z=Y
y+z=Z
x+y=T

Mais je ne sais pas quoi faire des solutions...

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 18:17

La condition est-elle X+Y=Z+T ?

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 19:07

non il suffit de dire ce que tu as écris, ie : il existe x,y,z tel que
x+y=X
y+z=Y
y+z=Z
x+y=T

enfin, c'est ce que je répondrais au moins.

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 19:14

Je pense qu'il faut au moins exprimer une condition sur X, Y, Z ou T. Par exemple, X=-Y

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 19:18

En regardant de plus près il y a effectivement une condition évidente sur X,Y,Z,T. En particulier un lien entre X et T d'une part, Y et Z d'autre part.

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 19:24

Je vois bien que X=T et Y=Z, mais cela semble un peu trop simple...

par **Sylviel** » 28 Déc 2010, 19:31

Non non, et tu peux même montrer que c'est une CNS en exhibant un antécédant pour un vecteur de la forme (A,B,B,A).

par **leofonte** » 28 Déc 2010, 19:56

D'accord, merci beaucoup. Maintenant on me demande de déterminer Ker f, je sais que qu'il faut écrire
x+y=0
y+z=0
y+z=0
x+y=0

Mais encore une fois, j'ai du mal à en déduire Ker f. Je déteste cette leçon je bloque à chaque question...

par **leofonte** » 29 Déc 2010, 13:03

On me demande aussi de prouver que dim E=3. Comment puis-je trouver cela?

par **leofonte** » 31 Déc 2010, 15:49

Personne ne sait?

par **bentaarito** » 31 Déc 2010, 16:10

leofonte a écrit:D'accord, merci beaucoup. Maintenant on me demande de déterminer Ker f, je sais que qu'il faut écrire
x+y=0
y+z=0
y+z=0
x+y=0

Mais encore une fois, j'ai du mal à en déduire Ker f. Je déteste cette leçon je bloque à chaque question...

x+y=0
y+z=0
y+z=0
x+y=0
ça donne x=z et x=-y
kerf est de dim2
tu peux écrire kerf=vect{(1,-1,0,1);(1,-1,1,1,)}

par **bentaarito** » 31 Déc 2010, 16:14

leofonte a écrit:On me demande aussi de prouver que dim E=3. Comment puis-je trouver cela?

et f l'application de

dans

définie par

E est un hyperplan de

donc de dimension 3
(en fait la dimension d'un sev est égale: à dim de l'ev - nb d'équation liant les vecteurs de E
ici 4-1=3)
à toi d'en trouver une base (facile) :lol3:

par **leofonte** » 01 Jan 2011, 16:00

Ah je ne connaissais pas cette loi! Pour la base il faut trouver des vecteurs générateurs c'est ca? Genre u1=1 u2=-1 etc?
En tou cas merci pour la reponse

par **bentaarito** » 01 Jan 2011, 16:33

leofonte a écrit:Ah je ne connaissais pas cette loi! Pour la base il faut trouver des vecteurs générateurs c'est ca? Genre u1=1 u2=-1 etc?
En tou cas merci pour la reponse

Non un vecteur de la base doit appartenir à E, donc il est de la forme X=(x,y,z,t) :hum:

par **leofonte** » 02 Jan 2011, 19:07

J'ai beau essayer, j'ai du mal à en trouver une base...

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