SEV non fermés?

par **Kurt Gödel** » 01 Nov 2010, 16:12

Bonjour,

Un sev F est-il toujours fermé ? J'ai envie de dire oui, j'ai montré que Adh(F) était un sev, mais a-t-on toujours F=Adh(F) ?

Merci.

par **Nightmare** » 01 Nov 2010, 16:16

Salut,

en dimension finie c'est vraie, mais faux en dimension infinie.

par **Kurt Gödel** » 01 Nov 2010, 16:18

Je peux avoir la démo et un contre-exemple, merci! :)

par **Nightmare** » 01 Nov 2010, 16:27

En dimension finie, ce n'est pas trop difficile, il faut montrer que F est déjà nécessairement complet, pour ça on considère une suite de Cauchy quelconque, elle est bornée sur un certaine boule fermée, cette dernière étant compacte, on y trouve une valeur d'adhérence de notre suite de Cauchy, et une suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence est forcément convergente (exercice classique). Ensuite c'est trivial, une suite convergente de F est de Cauchy et par complétude converge donc dans F.

Pour un contre exemple, il suffit d'exhiber une forme linéaire non continue en dimension infinie, son noyau n'est alors pas fermé.

par **Kurt Gödel** » 01 Nov 2010, 16:46

Merci beaucoup!

par **girdav** » 01 Nov 2010, 17:03

Pour un contre-exemple explicite on peut prendre dans le cas de

(suites

réelles ou complexes pour lesquelles

) la réunion

avec

. F est bien un sous-espace car la réunion est croissante, strict, et on peut montrer qu'il est dense dans

.

par **dibeteriou** » 01 Nov 2010, 17:47

Salut,
En dimension finie :
soit

un projecteur sur un supplémentaire parallèlement à

.

où

est continue car linéaire.

est donc fermé.

par **Ben314** » 01 Nov 2010, 18:04

dibeteriou a écrit:Salut,
En dimension finie :
soit un projecteur sur un supplémentaire parallèlement à . où est continue car linéaire. est donc fermé.

O.K., mais là, tu tourne un peu en rond :
QUESTION : Pourquoi ton application linéaire est elle forcément continue ?
REPONSE : Car en dim finie, elles le sont toutes...

par **dibeteriou** » 01 Nov 2010, 18:19

Ouais je vois le problème... il faut dire qu'en prépa, on admet que toute application linéaire définie sur un espace de dimension finie est continue :we:

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