Series trigonometriques : convergence

[taurage]

Bonjour,

J'ai quelques questions sur les séries trigonométriques du type som(n=1;+inf;b_n*sin(nt)) :

f est définie par f(t)=som(n=1;+inf;b_n*sin(nt)) pour les réels t tels que la série converge.
On pose f_n(t)=b_n*sin(nt)

1) On sait que som(b_n) converge absolument et qu'il existe r>1 telle que b_n est un O(1/r^n) :
Montrer qu'il existe (c_k) telle que pour tout t de ]-ln(r);ln(r)[, f(t)=som(k=0;+inf;c_k*t^(2k+1))

2) On sait que (b_n) est une suite réelle décroissante qui tend vers 0 :
- Donner une CNS sur (b_n) pour que la série de fonctions som(f_n) converge uniformément sur R
---> j'ai trouvé comme CNS : (nb_n) tend vers 0
- A quelle condition y-a-t-il convergence normale su R ?
- Donner un exemple dans lequel il y a convergence uniforme mais pas normale

Merci d'avance pour vos aides.

Florence

[mathelot]

- Donner un exemple dans lequel il y a convergence uniforme mais pas normale

Via le critère de Cauchy "uniforme" , et le critère d'Abel, il faudrait majorer uniformément en t
quelque chose comme


j'ai fait la sommation habituelle des exponentielles et la factorisation par l'arc moitié
de tête, pour avoir une idée du noyau.


ce noyau, continu, est uniformément continu sur un compact et par périodicité sur R

[arnaud32]

tu peux regarder du cote des series de fourrier et noyeau de dirichelet