Series sin(n)/n

[prepagirl55555]

Salut à tous!

je voulais savoir si par hasard quelqu'un aurait une idée pour démontrer que la somme de 1 à +oo de sin(n)/n tend vers (pi-1)/2?

On sait que la série converge par la transformation d'Abel; j'ai pensé développer sinus en série entière mais je n'arrive à rien et pour une comparaison série intégrale je ne vois pas trop...

un indice de méthode suffira :)

merci :)

[mathelot]

un indice de méthode suffira

j'essaye de dériver


et de "sommer" la série divergente des dérivées à la main (ou alors
en moyenne au sens de Césaro)



<---------- ne marche pas

[prepagirl55555]

Merci d'avoir répondu si vite :)

Je vais chercher

[mathelot]

j'essaye de dériver

une fois définie f (ci-dessus), au contraire, on l'intègre


G est périodique, on devrait pouvoir montrer
que c'est la série de Fourier d'une fonction sur
<---- trop compliqué
remarque: l'intégration est un procédé régularisant , on obtient la convergence normale de la série en primitivant alors qu'en dérivant, au contraire, on perd la convergence ponctuelle)

[mathelot]

j'ai trouvé le sujet traité dans "Fourier series" par Hardy and Rogosinski
aux presses universitaires de Cambrige, page 29

(3.7.1)


on définit

il te reste à calculer les coefficients de Fourier de
et appliquer un théorème de convergence des séries de Fourier

[paquito]

f est périodique et ni paire, ni impaire; on a et

(voir figure) et pour

;

;

(intégration par parties sans difficulté)

Don, si f est continue en, ce qui est le cas pour , donc



et ; on peut Même en profiter pour appliquer la formule de Parseval:


ce qui donne , d'où le résultat bien connu: