Résoudre y'' - sin(x)y = cos(x) à l'aide des séries

[MrPacane]

Bonjour,

J'essaie de résoudre avec les séries sachant que et .

J'ai posé :



et j'ai remplacé et par leur série de Taylor.

Maintenant, je ne sais plus trop quoi faire car je suis pris avec des provenant des séries de Taylor du sinus et du cosinus... Est-ce que quelqu'un peut m'aider? :hein:

[JeanJ]

J'essaie de résoudre avec les séries

OK, mais s'agit-il nécessairement de séries de puissances entières, ou au contraire de séries de sin et cos (séries de Fourrier) ?
Il me semble que si on partait de
y = Sigma ( a_n cos(kx) + b_n sin(kx) )
les relations de récurrence seraient nettement moins compliquées à établir.
Par contre, s'agissant d'un système de deux relations de récurrence, entre a_n , b_n , a_(n+1) , b_(n+1) , a_(n+2) et b_(n+2) , leur traitement ultérieur risque d'être ardu.

[JeanJ]

y''-y sin(x) = cos(x)
Une autre façon de faire :
on pose t = sin(x), et y(x)=z(t) ce qui conduit à :
(1-t²) z'' -t z' -t z = Sqrt(1-t²)
Le développement en série des puissances entières de t est alors aisé, aussi bien pour Sqrt(1-t²) que pour z' et z'' avec z= Sigma a_n t^n

[MrPacane]

Je parle de séries de puissances entières, pardon.

Dans ta deuxième réponse, tu dis qu'il faut développer et en séries de puissances entières, mais je ne vois pas comment. Pourrais-tu m'expliquer?

[JeanJ]

http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
Calcule les dérivées successives de Sqrt(1-x) et leurs valeurs pour x=0.
Par suite, tu obtiens le terme général du développement en série de Sqrt(1-x)
Puis remplace x par t² pour la série Sqrt(1-t²)

[MrPacane]

J'obtiens :



Je suis toujours pris avec ... Que faire ensuite?

[JeanJ]

Je ne vois pas pourquoi t^2n te gène. Cela veut seulement dire que le développement en série de Sqrt(1-x²) a des coefficients nuls : les coefficients de t^(2n+1) sont nuls. Il n'y a rien d'anormal à cela.
Mets tous les termes du même coté, pour avoir =0.
Puis écris l'équation de telle sorte qu'elle ne comporte qu'un seul sigma, avec tous les termes dans ce seul sigma.
(je n'ai pas vérifié ton équation)

[MrPacane]

Voilà... Rendu à cette étape, je ne sais plus quoi faire.