|sin(x)-sin(y)|<|x-y|

[qrts]

Montrer que : |sin(x)-sin(y)|<|x-y| :mur: :hum:

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Tu appliques le théorème des accroissements finies à la fonction sur l'intervalle .

Cordialement. :happy3:

[mr_pyer]

S'il applique bêtement la formule des accroissements finis il ne va pas obtenir l'inégalité stricte (qui d'ailleurs est fausse si x=y)...

[Vupen]

Salut,



Pour tout réel x,

[adrien69]

S'il applique bêtement la formule des accroissements finis il ne va pas obtenir l'inégalité stricte (qui d'ailleurs est fausse si x=y)...

Si. En appliquant vraiment proprement l'EGALITE des accroissements finis on s'en sort très bien.

[chan79]

Salut,



Pour tout réel x,

Salut
y étant fixé, on peut étudier la fonction f(x)=|sin(x)-sin(y)|-|x-y|
elle est continue sur , croissante sur et décroissante sur et f(y)=0
La méthode de Vupen est nettement la plus expéditive !

[Sylviel]

Mais elle nécessite de savoir que |sin x|<|x| ce qui est assez proche de la question posée...

Je penche pour l'éaglité des accroissements fini aussi comme méthode la plus simple et élégante.

[Black Jack]

On peut croiser les variables x et y sans modifier le sens de l'inéquation donnée.

Donc on peut se limiter à étudier le cas x >= y, on a alors |x-y| = x-y (1)

a) si sin(x)-sin(y) >= 0, alors |sin(x)-sin(y)| = sin(x)-sin(y) (2)

f(x) = sin(x) - x
f'(x) = cos(x) - 1 <= 0 ---> f(x) est décroissante.
et donc comme x >= y, on a f(x) <= f(y)
soit donc sin(x) - x <= sin(y) - y
sin(x) - sin(y) <= x - y
Et avec (1) et (2) ---> |sin(x) - sin(y)| <= |x - y|

b) si sin(x)-sin(y) <= 0, alors |sin(x)-sin(y)| = -sin(x)+sin(y) (3)

g(x) = sin(x) + x
g'(x) = cos(x) + 1 >= 0 ---> g(x) est croissante.
et donc comme x >= y, on a g(x) >= g(y)
soit donc sin(x) + x >= sin(y) + y
x - y >= sin(y) - sin(x)
Et avec (1) et (3) ---> |sin(x) - sin(y)| <= |x - y|

En regroupant, les résultats on a donc : |sin(x) - sin(y)| <= |x - y| quels que soient x et y dans R².

:zen:

[mr_pyer]

Si. En appliquant vraiment proprement l'EGALITE des accroissements finis on s'en sort très bien.

Non, par exemple si x=-1 et y=1 qui te dit que le c qui vérifie l'égalité des accroissements finis f(x)-f(y)=(x-y)f'(c) n'est pas égal à 0...
Il faut juste faire un petit effort de plus pour contourner cette problématique.

[adrien69]

C'est ce que je dis. Il faut l'appliquer VRAIMENT proprement. En se plaçant d'abord sur un intervalle où sin est injective, puis en étandant.

[mr_pyer]

Dans ce cas tu n'as pas besoin de "l'EGALITE" des accroissements finis l'inégalité suffit amplement...
Bref, tu réagis à un post où je dis qu'il faut faire attention à ne pas appliquer bêtement la formule des accroissements finis en disant "Si. Il faut l'appliquer vraiment proprement" !

[adrien69]

Dans ce cas tu n'as pas besoin de "l'EGALITE" des accroissements finis l'inégalité suffit amplement...
Bref, tu réagis à un post où je dis qu'il faut faire attention à ne pas appliquer bêtement la formule des accroissements finis en disant "Si. Il faut l'appliquer vraiment proprement" !

Question à deux balles. Quel outil tu utilises pour démontrer l'inégalité des accroissements finis ?