Séries entières, rayon de convergence

[Mister-Z]

Bonjour.

J'ai des difficultés, bloqué dans l'exercice suivant :

Soit une suite de nombres réels.

A. On suppose que la série de terme général converge, et on note .

1)Montrer que les séries entières et ont un rayon de convergence supérieur à 1. On note A et S leur somme.

2) Montrer que : , .

3)En déduire que
(On pourra judicieusement découper la somme )

B. On suppose maintenant que la suite est positive, que la série de terme général diverge, et que le rayon de convergence de la série entière est au moins 1.
Montrer que le rayon de convergence de cette dernière est exactement 1, et qu'avec les mêmes notations que précédemment :

-----------------------------------------------------------------

A. 1)

La série de terme général converge, on en déduit que la série entière converge (forcément) après avoir calculé avec le test de D'Alembert. Donc R>1

Par contre, , je ne sais pas comment.

Le test de D'Alembert nous donne :
.

Et voilà, je suis tout bloqué ! :marteau:


Merci.

[Ben314]

Bonsoir,
Ta réponse au 1) ne vas pas : tu ne peut pas utiliser le test d'alembert car :
a) Rien ne dit que les a_n sont non nuls (et je te "rappelle" que l'on ne peut pas diviser par 0)
b) Le critère d'alembert pour les séries numériques n'est pas une équivalence, donc, partant de l'hypothèse "La série de terme général a_n converge" on ne peut rien en déduire concernant les rapports (ils peuvent tout simplement.... ne pas avoir de limite).

La réponse est "beaucoup plus simple".
Une indication : ne vois tu pas un lien "tout con" entre la série numérique et la série entière ?


P.S. Pour "là où tu est tout bloqué", même indication : ne cherche pas la preuve dans les "critères" un peu technique (type d'alembert)... mais plutot dans les truc "con-con"

P.S.2 Pour la première partie du 1) on peut aussi utiliser le fait que :
"si la série de terme général a_n converge alors la suite a_n...."
cela te donne en plus une GROSSE indic. pour la deuxième partie du 1)

[Mister-Z]

Oui, j'ai pas pensé aux conditions où est différent de 0.

converge, ça veut dire que la suite converge vers 0 ?

[Ben314]

converge, ça veut dire que la suite converge vers 0 ?

Oui, mais ce n'est (évidement ?) qu'une implication et pas une équivalence.

[Mister-Z]

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.

[Ben314]

Tout à fait, mais ici la condition est.... suffisante pour conclure....

[Mister-Z]

Je ne vois pas comment faire pour conclure que le rayon de convergence est supérieur à 1 ?

[Ben314]

Il faut utiliser le premier résultat que tu as du voir concernant les séries entières : il existe une "borne" R appellée rayon de c.v. telle que :
Pour tout x tel que |x|R la série D.V.
Pour tout x tel que |x|=R on sait pas, ca dépend de la série.

Cela permet trés facilement de montrer que, si les (a_n) sont bornés (donc en particulier s'ils tendent vers 0) le rayon de C.V. est au moins 1.
Si tu ne te rapelle plus de cette preuve, cherche là : ca tient 3 lignes....