Series convergentes ?

[benj3850]

bonjour

les series suivantes sont elles convergentes a votre avis ? :

Somme de (-i)^n / (n+1)^1/4


et somme de (-1)^n / (n^1/2 +(-1)^n)

merci :)

[abel]

pour la premiere il faut séparer Im() et Re()
Je trouve que ca ne converge pas car la partie reelle n'a que des singne + et donc comme 1/4<1 alors ca diverge
Pour al seconde, essaie de faire un développement limité de chaque terme à un ordre suffisant pour avoir au final du o(???) où la série des ??? converge. comme ca tu ecrira que o(???)=???*(un truc borné). Apres tu devrais t'en sortir avec le critere secial des séries alternées...

[tize]

La deuxième diverge aussi il me semble :

en faisant un DL ( ), on a :
donc :
avec .
la serie de terme general converge celle de terme diverge donc celle de terme ne peut pas converger.
Sauf erreur grossiere de ma part ...

[abel]

Faut faire attention car on ne peut pas sommer les equivalents, pour etre rigoureux il faudrait pousser le DL +loin afin que ce qui se trouve dans le o() soit le terme général d'une serie convergente...Cela dit je n'ai pas regardé si ca convergeait ou divergeait.

[tize]

J'ai pourtant cru voir dans un cours que si deux suites sont positives (ou négatives) et alors les series ont la même nature. Est ce que je dis n'importe quoi ? :id2:

[Chimomo]

C'est vrai, mais ca ne veut pas dire qu'on peut sommer des équivalents. En fait il existe des théorèmes de sommation de relations de comparaisons pour les séries (qu'elles soient divergentes ou convergents même si dans un cas les sommes partielles sont équivalentes et dans l'autre se sont les restes) mais de façon générale on ne peut sommer des équivalents (je n'ai plus les contre-exemples classiques en tête mais bon)

[mathelot]

pour la 1ère série, le critère d'Abel (non pas celui du forum, le vrai !)
devrait suffire à prouver la convergence.

[tize]

Pour chimomo : bien sur, je suis tout à fait d'accord mais dans notre cas mon raisonnement reste valable non ?

[yos]

Pour moi aussi la première converge par Abel, la seconde diverge (la méthode de Tize est OK ).

[abel]

Je suis aussi le vrai abel car je m'appelle comme ça (bon d'accord je suis pas le matheu)

[Chimomo]

Tu as toi même pensé, Tize à dire que les deux suites devaient être de signe constant identique, ca ne marche donc pas ici puisque les séries sont alternées (mais sinon c'est bien vrai)

[abcd22]

La méthode de tize est correcte, on a avec convergente par le critère des séries alternées, donc et sont de même nature. Pour étudier la convergence de on peut utiliser l'équivalent puisque , donc sera négative à partir d'un certain rang.

[buzard]

mais de façon générale on ne peut sommer des équivalents

Il n'a rien fais de tel, il se sert de l'equivalent pour montrer que wn diverge, je vois pas le rapport

[Chimomo]

Le rapport est évident, on dit que Un et Un sont équivalents, donc que les séries ( et ) sont de même nature. Ce résultat reviens d'une somme d'équivalents (car si une des séries divergent leurs sommes partielles sont équivalentes ce qui implique que l'autre diverge et si une converge les restes sont équivalents ce qui implique que l'autre converge) mais dans le cas extrémement particulier où les deux suites sont de même signe constant. Je faisais juste remarquer que c'est vrai dans ce cas mais pas dans le cas général (combien de personnes somment des équivalents ou croient que si deux suites sont équivalentes leurs séries sont de même nature).

[tize]

tout a fait d'accord avec toi chimomo mais alors pourquoi dis tu : "ca ne marche donc pas ici puisque les séries sont alternées" je ne dis pas que sont de même signe constant mais juste que et donc que la serie de terme ne peut pas converger...

[abcd22]

Pour dire que et sont de même nature, on dit que , on sait que donc :
- si alors ;
- si diverge alors aussi car si on avait on obtiendrait .
Il n'y a pas de résultats sur les équivalents de séries là-dedans !

[Chimomo]

Pour abcd22, je sais. Mais je parlais ici(avec Tize) de deux suites équivalentes et pas d'une somme de deux séries.

En fait tout ca vient d'une confusion de ma part: j'avais mal lu le post de Tize et je croyais qu'il disait que Vn et Wn étaient équivalentes et c'est pour ca que je me suis mis à parler d'équivalents, mea culpa.

[tize]

Pas de probleme ca arrive à tout le monde : moi le premier