Séries convergentes

[Science]

Bonjour j'ai un petit problème avec l'exercice suivant :
Soit (Un) une suite positive et décroissante. Prouver que si la série de terme générale Un converge alors nUn tend vers 0.
J'ai commencé avec un raisonnement par contraposée vous pensez que c'est un bon début?

Cordialement

Science

[Nightmare]

Salut,

Ben, pour le moment j'en pense pas grand chose, je ne vois pas de preuve, juste un tout petit début d'idée de preuve.

Bref, le sujet à été traité récemment [url="http://www.maths-forum.com/mp-un-resultat-suites-111562.php"]ici[/url].

Une autre manière de faire non proposée dans le topic précédent :

Soit epsilon fixé. A partir d'un certain rang, pour tout m et donc par décroissance, . On peut conclure directement en passant à la limite sup étant donné que , on a que si bien que et donc

[Ben314]

Bonjour j'ai un petit problème avec l'exercice suivant :
Soit (Un) une suite positive et décroissante. Prouver que si la série de terme générale Un converge alors nUn tend vers 0.
J'ai commencé avec un raisonnement par contraposée vous pensez que c'est un bon début?

Cordialement

Science

Oui, c'est un début tout à fait pertinent.

Sinon, si tu veut une preuve "directe", il y a plusieurs idées là :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=111562

[Nightmare]

Au passage, j'en profite pour donner cette généralisation (que j'ai déjà proposée sur le forum je crois) toujours intéressante à étudier :

Si est une suite de 1 et de -1 telle que est convergente, toujours sous les hypothèses que est une suite réelle décroissante, alors

(ton exercice étant le cas particulier où pour tout n.)

[Science]

Au fait je n'ai pas vu les séries de Cauchy en cours (mais je sais quand même ce que sait) donc je peux pas faire la preuve "directe"
Voilà ce que je fais si nUn ne tend pas vers 0 alors nécessairement la série de terme générale nUn diverge, à partir de là je dois en déduire que la série de terme général Un diverge (avec Un respectant les hypothèses) mais c'est là où je bloque

[Nightmare]

La preuve proposée par Girdav dans l'autre topic est la plus simple au niveau des connaissances requises.

[girdav]

Au fait je n'ai pas vu les séries de Cauchy en cours (mais je sais quand même ce que sait) donc je peux pas faire la preuve "directe"
Voilà ce que je fais si nUn ne tend pas vers 0 alors nécessairement la série de terme générale nUn diverge, à partir de là je dois en déduire que la série de terme général Un diverge (avec Un respectant les hypothèses) mais c'est là où je bloque

C'est normal tu affaiblis trop l'hypothèse (dire que diverge est plus faible que dire que ne tend pas vers ). Par exemple la série diverge mais pas .

[Science]

Donc il faut que je démontre que la série de terme général Un diverge directement à partir du fait que nUn ne tende pas vers 0 sans passer par la série de terme général nUn?

[girdav]

Oui, ça peut se faire. Par exemple on voit qu'il existe \delta>0 tel que pour une infinité d'indices on a .
Si on se donne tel que vois tu comment minorer ?

[Science]

Oui, ça peut se faire. Par exemple on voit qu'il existe \delta>0 tel que pour une infinité d'indices on a .
Si on se donne tel que vois tu comment minorer ?

atttends pourquoi kUk est forcément plus grand que ?

[girdav]

C'est par définition de la convergence, ou plutôt ici de la non convergence : on peut trouver un tel que dès que l'on prend un entier , on trouvera toujours un entier plus grand que , disons tel que et les valeurs absolues s'en vont.

[Science]

C'est par définition de la convergence, ou plutôt ici de la non convergence : on peut trouver un tel que dès que l'on prend un entier , on trouvera toujours un entier plus grand que , disons tel que et les valeurs absolues s'en vont.

Donc on pourrait minorer ta somme par delta/k ?

[girdav]

"Ma" somme est minorée par car on somme termes tous plus grands que .