Topologie : suites convergentes dans un espace non séparé

[Zebulon]

Bonsoir,
voici un problème dont je ne comprends pas la correction. Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Enoncé :
Soit X un ensemble non vide. On note l'ensemble des parties finies de X et on pose .

1). Montrer que définit une topologie sur X.
2). Montrer que, pour cette topologie, les singletons de X sont fermés.
3). Montrer que X est séparé pour cette topologie si et seulement si X est un ensemble fini.
4). Caractériser les suites convergentes. (distinguer deux cas selon que X est fini ou infini). Montrer en particulier que, si les éléments d'une suite sont deux à deux distincts à partir d'un certain rang, alors tout élément de X est limite de cette suite.

Pas de problème pour les trois premières questions.
Pour la 4ème, voici ce que j'ai fait :

(i). Si X est fini :
soit ,
tend vers tel que
tel que et fini,
tel que et U fini, car X est fini

est constante à partir d'un certain rang.

(ii). Si X est infini :
soit ,
tend vers tel que
tel que et fini,
tel que et U infini, puisque X est infini
tel que U infini, .

Jusque-là, c'est correct au moins?
Dans le cas où X est infini, mon prof disait que est convergente si et seulement si on peut en extraire une suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang. C'est ça que je ne comprends pas.
Par exemple, une suite constante vérifie tel que U infini, donc est convergente, mais n'admet pas de sous-suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang !

Je n'arrive pas non plus à montrer la deuxième partie de la question 4 :
soit telle que , alors X est infini,
soit une partie infinie, on cherche (si j'ai bien caractérisé les suites convergentes dans X infini) mais je ne vois pas.

[jose_latino]

(ii). Si X est infini :
soit ,
tend vers tel que
tel que et fini,
tel que et U infini, puisque X est infini :hein:
tel que U infini, .

Jusque-là, c'est correct au moins?

Il y a un problème, en :hein:, ce n'est pas vrai que tout ensemble infini a un complementaire fini.

Dans le cas où X est infini, mon prof disait que est convergente si et seulement si on peut en extraire une suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang. C'est ça que je ne comprends pas.
Par exemple, une suite constante vérifie tel que U infini, donc est convergente, mais n'admet pas de sous-suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang !

Tu as raison, mais je crois que ton prof (s'il est certain) t'a parlé d'une autre chose.

[Zebulon]

Il y a un problème, en :hein:, ce n'est pas vrai que tout ensemble infini a un complementaire fini.

Ce n'est pas ce que j'ai dit, j'ai seulement dit que X-U était fini parce que .

Pour la deuxième partie de la 4, je crois avoir compris : il faut d'abord supposer qu'elle est convergente et moontrer qu'alors elle est convergente vers n'importe quel élément de X.

[jose_latino]

Pour voir la question 4 (cas infini), à mon avis, c'est mieux si tu utilises la définition de . Soit . Si tu as une voisinage ouverte de , alors est fini. Comme la suite a tous ses termes différents entre eux, est fini... je crois que tu peux continuer, bon courage :zen:

[jose_latino]

Tu as affirmé l'équivalence suivante:

tel que et fini,
tel que et U infini, puisque X est infini

laquelle est incorrecte.

[Zebulon]

En fait j'ai fait une erreur sur la caractérisation des suites convergentes si X est infini :

(ii). Si X est infini :
soit ,
tend vers tel que
tel que et fini,

Ca je pense que c'est bon, mais ça :

tel que et U infini, puisque X est infini

c'est faux, il n'y a pas équivalence (seulement l'implication).

On a donc, si X est infini,
tend vers l tel que et V fini, .

Pour la deuxième partie de la question 4 :
soit une suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang, alors
.
Soit , supposons que ne tend pas vers x, alors
, V fini, tel que et et
donc tels que , ce qui est contradictoire avec le fait que pour k et m plus grands que , .
Cette fois, c'est bon?

[jose_latino]

Oui, mais je crois que tu peux améliorer un petit peut le raisonement final.

En fait j'ai fait une erreur sur la caractérisation des suites convergentes si X est infini :

Ca je pense que c'est bon, mais ça :

c'est faux, il n'y a pas équivalence (seulement l'implication).

On a donc, si X est infini,
tend vers l tel que et V fini, .

Pour la deuxième partie de la question 4 :
soit une suite dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang, alors
.
Soit , supposons que ne tend pas vers x, alors
, V fini, tel que et et

donc on peut contruire une sous-suite tel que:

• 
• 
• est croisante

donc tu as une contradiction car , pour tout

[jose_latino]

Tu n'aimes pas cette idée? :doh:

Pour voir la question 4 (cas infini), à mon avis, c'est mieux si tu utilises la définition de . Soit . Si tu as une voisinage ouverte de , alors est fini. Comme la suite a tous ses termes différents entre eux, est fini... je crois que tu peux continuer, bon courage :zen:

[Zebulon]

Je n'ai pas cherché dans ce sens.
Pour l'histoire de la sous-suite qu'on construit, je comprends bien, mais je ne vois pas pourquoi ce procédé donne une extraction : pourquoi serait-elle croissante? Je suis d'accord si on extrait de cette façon :
on prend ,
si , on prend , sinon on regarde ,
si , on prend , sinon, on regarde , etc...
On arrive forcément à un car . Soit, pour tout , , on a alors une suite (qui est bien, cette fois, une suite extraite de ) dont tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang ce qui est contradictoire avec V fini.

[Zebulon]

Pour voir la question 4 (cas infini), à mon avis, c'est mieux si tu utilises la définition de . Soit . Si tu as une voisinage ouverte de , alors est fini. Comme la suite a tous ses termes différents entre eux, est fini... je crois que tu peux continuer, bon courage :zen:

En utilisant ça, est-ce que ce raisonnement est correct :
soit telle que tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang, soit , soit tel que , alors est fini donc est fini. Soit , alors donc tend vers x et c'est fini ?!

[jose_latino]

L'extraction est possible. C'est simplement un détail technique:

Soit , supposons que ne tend pas vers x, alors
, V fini, tel que et et

On a que: " et " (*)
Soit , si on a déjà choisi tels que

• , pour tout
• , pour tout

Pour , par (*), il existe tel que et . On choisit

[jose_latino]

En utilisant ça, est-ce que ce raisonnement est correct :
soit telle que tous les termes sont distincts à partir d'un certain rang, soit , soit tel que , alors est fini donc est fini. Soit , alors donc tend vers x et c'est fini ?!

Oui, c'est bien fini :zen:

[Zebulon]

OK, merci beaucoup José Latino pour l'aide que vous m'avez apportée. Maintenant j'ai compris et votre méthode est bien plus simple que l'extraction (merci pour la rédaction !), elle-même plus élégante que ce que j'avais fait.
Bonne soirée et à bientôt ! :we: