MPSI - Suites bornées et convergentes

[Trevor]

Bonjour,
Je suis en première année de MPSI et notre prof de maths nous a donné une feuille d’exercices à faire. Cependant, il y a un exercice que je ne parviens pas à résoudre, et qui est le suivant :

Partie I : Soit (Un), n appartenant à N, une suite bornée de réels. Posons, pour p appartenant à N :
Ap = {Un | n p}, Vp = inf Ap et Wp = sup Ap

a- Faire l’étude de la monotonie des deux suites (Vp) et (Wp).
b- Montrer que (Vp) et (Wp) sont convergentes, et comparer leurs limites respectives li et ls
(li étant la limite inférieure de (Un), et ls étant sa limite supérieure).
c- Puis montrer avec le minimum de calculs que dans le cas où li = ls, alors (Un) est convergente de même limite l = li = ls.
d- Supposons ici que si (Un) est convergente de limite l, et soit e>0. Montrer que :
l – e li ls l +e
Puis déduire que l = li = ls.

Partie II : Supposons que (Un) est une suite de Cauchy, ce qui signifie que :
Pour tout e>0, il existe un n0 appartenant à N, tel que pour tout (n,p) appartenant à N², (n n0 et p n0) implique que |Un – Up| < e.

a- Etablir que la suite (Un) est bornée.
b- Puis montrer que (Un) est une suite convergente, en reprenant la notation des questions précédentes et en établissant que li = ls.


En fait, je n’arrive déjà pas à démarrer, donc si quelqu’un pouvait m’aider, ce serait vraiment très gentil de sa part. Merci d’avance !

[Luc]

Salut,

Dans la première question, il s'agit de se demander si V_p est croissante ou décroissante, même chose pour W_p.

Je te rappelle que tu dispose d'un théorème pour prouver la convergence d'une suite croissante majorée (ou d'une suite décroissante minorée).

Luc

[Trevor]

Bonjour,

Dans la première question je me rends bien compte qu'il faut avoir si Vp ou Wp sont croissantes ou décroissantes, mais je ne vois pas comment en fait.

Et pour la question 2, je sais que le théorème dit que si (Un) (par exemple) est une suite réelle croissante et majorée, alors (Un) est convergente, de limite l = sup{Un | n appartenant à N}. Seulement il faut pour cela faire d'abord la première question, ce que je n'arrive pas à faire. De plus, je ne comprends pas trop ce que signifie limites inférieure et supérieure de (Un). Cela signifierait-il que (Un) aurait deux limites ?

Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider et m'éclairer, merci à lui (ou elle) !

[emdro]

Bonjour,

comme souvent, compare et .
Quelles sont leurs définitions respectives?

[yos]

Bonjour.
Les ensembles diminuent avec p :

Donc les bornes inf de ces ensembles augmentent avec p.
Les bornes sup, elles vont diminuer.

[yos]

[De plus, je ne comprends pas trop ce que signifie limites inférieure et supérieure de (Un). Cela signifierait-il que (Un) aurait deux limites ?

Il s'agit d'une définition des objets dont on vient de prouver l'existence. Ne te pose pas de question inutile.

Edit. Salut emdro et désolé d'empiéter.

[Trevor]

Ca y est, je pense avoir compris (il était temps !). On a donc :

A_p+1 est inclus dans A_p, d'où :

inf A_p ;) inf A_p+1 ;) sup A_p+1 ;) sup A_p
V_p ;) V_p+1 ;) W_p+1 ;) W_p

V_p ;) V_p+1 => (V_p) croissante.
W_p+1 ;) W_p => (W_p) décroissante.


Ensuite, pour la question suivante, si on sait que (V_p) et (W_p) sont convergentes, alors on sait que li et ls existent, or, comme on sait que V_p ;) W_p (d'après l'inégalité précédente), alors lim V_p ;) lim W_p, d'où li ;) ls.
Cependant, je suis pas certain de savoir comment dire que (V_p) et (W_p) sont convergentes, car on ne sait pas si elles sont majorées ou minorées. A moins que le seul fait que l'on sache que (U_n) est bornée nous permet de dire que (V_p) et (W_p) sont respectivement majorées et minorées ?

[emdro]

Soit A un majorant de (Un).
Comme pour tout entier n, Un<=A, que penses-tu de inf{Un, n>=p}?

[Trevor]

Donc en reprenant ton raisonnement :

Soit A un majorant de (Un). Pour tout entier, (Un) ;) A, d'où inf{Un|p;)n} ;) A, d'où inf(Ap) ;) A, d'où Vp ;) A, d'où Vp majorée par A, et on en déduit que Vp est convergente.
Et on applique le même raisonnement pour Wp, je me trompe ? Est-ce cela ?

Ensuite, pour la question 3 de la partie I :
Si li = ls, comme li = sup Vp et ls = inf Wp, alors sup Vp = inf Wp.
Seulement je n'arrive pas à tirer quoi que ce soit de cette équation, donc je ne doit pas être bien parti. Quelqu'un aurait-il une idée s'il vous plaît ?

[emdro]

Oui, c'est ça pour la convergence de(Vp) et (Wp).

Maintenant, si li=ls, nomme L cette valeur commune.
Reviens aux définitions de sup et inf. Que signifie L=inf(Ap)?

[Trevor]

Je suis désolé, je ne vois pas où tu veux en venir.
De plus, je ne comprends pas pourquoi L = inf(Ap) ; si L = li = ls, alors ne devrait-on pas avoir :
L = lim(Vp) = lim (Wp)
donc L = lim (inf Ap) = lim (sup Ap), c'est-à-dire L = lim (inf Ap) et non L = inf(Ap) ?

[emdro]

Oui, absolument, inattention de ma part.
Mais quand même, il faut se servir du fait que L est la limite des inf(Ap) et sup(Ap). Donc qu'est-ce que inf(Ap)?

[Trevor]

Je crois que je suis toujours largué.
Eh bien on sait que inf(Ap) est une suite croissante et convergente vers L, tout comme sup(Ap) est une suite décroissante et convergente vers L. A ce moment-là, peut-on dire que comme lim(inf Ap) = lim(sup Ap) = L, alors, comme la suite (Un) est bornée de bornes inf(Ap) et sup(Ap), on a alors lim(Un) = L, d'où (Un) convergente de limite L = li = ls ?

[emdro]

comme la suite (Un) est bornée de bornes inf(Ap) et sup(Ap), on a alors lim(Un) = L, d'où (Un) convergente de limite L = li = ls ?

La suite (Un) n'est pas tout à fait bornée par inf(Ap) et sup(Ap), mais à partir de p, oui.

Et alors comment s'appelle ce théorème qui dit que (Un) va converger?

[Trevor]

Voici le théorème que j'ai utilisé : (cependant dans notre leçon il ne possède pas de nom)

Si (Un), (Vn), (Wn) sont trois suites réelles telles que (Un) et (Wn) convergent de même limite l et si à partir d'un certain rang Un
A présent, je me lance dans la question 4... Voilà ce que cela donne :

Soit e>0. On sait que (Un) converge de limite l, donc |Un - l| < e.
On sait également que Vp ;) Un ;) Wp, donc li ;) l ;) ls. Cependant je ne vois pas comment intégrer dans cette inégalité "l - e" et "l + e". Aurais-tu une idée, s'il te plaît emdro ? (ou toute autre âme charitable, sa contribution étant la bienvenue ! :we: )

[Krypton]

Bonsoir thomas :) (c'est Marion de la classe).

Si (Un) converge, alors pour tout e > 0 , il existe N a partir duquel tous les ensembles Un sont inclus dans l'intervalle [l-e;l+e] tu peux donc faire un encadrement :)