Serie entiere et equation differentielle

[ArtyB]

Bonjour,

Pour la seconde question de l'exercice, pensez vous que procéder par récurrence soit le bon choix ?

On considère une série entière de terme genéral , de rayon de
convergence R > 0, et de somme s. On suppose que la fonction s est une solution de l'equation
differentielle (*)
1. Etablir une relation liant pour chaque les coefficients et .
2. Déterminer la valeur depuis depour tout p > 2.
3.. On suppose que et . Calculer et pour.
4. Montrer que la série entiere de terme général a_n t^n converge normalement sur l'intervalle [-1;1] Quel est son rayon de convergence?
5. Posons et pour . Calculer la dérivée g' de g.
6. Déduire une expression explicite de la fonction s.

1. On a:



On ré-intégre ces termes dans l'équation (*):




Or une série entière étant nulle ssi tous ses coefficients sont nuls, on en déduit que:


et pour tout , on a:

Soit la relation de récurrence suivante:


2. On a:

On suppose (ou bien ?)
Et on le démontre par récurrence:
et là fail on ne retrouve pas ni .
Soit j'ai fait des erreurs de calcul (probable mais j'ai vérifié plusieurs fois quand même)
Soit je pars sur un mauvais raisonnement...

[Doraki]

Tellement d'erreurs de signes, c'est impressionnant. Quand tu recopies un signe, tu ne dois pas tirer à pile ou face pour savoir si tu vas le changer ou non.

Le seul truc bon c'est que pour n>=2, (n+1)(n+2) a(n+2) + (n²-n-2)an = 0. Que tu pourrais simplifier davantage.

Mais même pour remplacer n par 2 dedans, t'as du mal...

[aymanemaysae]

Je pense que le problème vient de l'expression de f'(t) et f"(t), de ma part j'ai trouvé:

puisque on a ,

et ,

donc en substituant f(t) et f"(t) par leur expression dans l'équation initiale, vous devrez trouver le résultat escompté: ceci si ma démarche est juste.

[ArtyB]

@aymanemaysae
En soit j'avais la même chose sauf pour l'expression de la dérivée seconde, je crois que pour le passage de m à u=m-1, la somme doit débuter à 2 et non à 1, non ?

@Doraki
En effet erreur de signe dés l'expression de récurrence, mea culpa.
On a alors
mais je ne vois pas de simplification possible ici.
Et on a:

On suppose donc que pour tout p>=2. Démontrons le par récurrence:

On l'a bien prouvé.
C'est mieux ?

[Doraki]

Oui sauf quand t'as écrit a(n+1) à la place de a(n+2). Tu peux dire quoi sur le polynôme -n²+n+2 sachant qu'il vaut 0 quand n=2 ?

[ArtyB]

Oui au temps pour moi, faute de frappe.
On peut dire qu'il est positif pour n<2 et négatif quand de n>2 ?

[Doraki]

Non, on peut dire qu'il est factorisable par (n-2)

[aymanemaysae]

Je corrige mon dernier message: la faute de frappe que j'ai commise est "n= 1" de la dernière sommation.
Je pense que le problème vient de l'expression de f'(t) et f"(t), de ma part j'ai trouvé:

puisque on a ,

et ,

donc en substituant f(t) et f"(t) par leur expression dans l'équation initiale, vous devrez trouver le résultat escompté: ceci si ma démarche est juste.

[ArtyB]

Ah oui aussi. et du coup on peut simplifier par (n+1) au dénominateur et au numérateur.

[ArtyB]

@aymanemayse
Je ne suis pas sûr que ça soit bon, comme dans ta formule tu poses u=m+1 c'est à partir de u=2 ta dernière somme et non u=0.

@Doraki
Pour la question 3, je ne comprends pas bien en quoi la somme est censée nous aider à calculer a_0 a_2 et a_{2p+1}, puisque:

[Ben314]

Tu es vraiment sûr que, pour ça vaut ?

[Doraki]

Non, 0^-1 ça n'existe pas et 0^1 ça ne fait pas 1.

s(z) = a0 + a1*z + a2*z² + a3*z^3 + ...

Si tu évalues ça en z=0, ça donne quoi ?

[ArtyB]

Ah oui non en effet, ça fait zero.
s(z) = a0 + a1*z + a2*z² + a3*z^3 +... évalué en z=0 donne:
s(0)=a_0
donc si s(0)=0, a_0=0.

s'(z)=a_1+2*a_2*2+...
s'(0)=1 <=> a_1=1