Equation différentielle série entière

[Anaisdeistres]

Salut,
niveau L2 maths G

Soit l’équation différentielle définie par :

On veut déterminer une fonction solution de (E) développable en série entière sous la forme
, série de rayon de convergence .

1. Ecrire le développement en série entière de en précisant
son rayon de convergence.
2. Déterminer les coefficients an pour tout .
3. En déduire le rayon de convergence .
4. Exprimer la somme de la série entière en termes de fonctions classiques.
Indication : On pensera à décomposer la fraction en éléments simples.

1.

avec





Note: J'ai une question capital ici est-ce-que mon ou il est égal à ?
Puisque si on part de la définition la série entière est de la forme alors ?

2.















3.

4. ????

Est-ce-que mon exercice est juste ? J'arrive pas à faire la somme de la série entière

Mercii

[pascal16]

Je n'ai jamais fait la théorie des série entière, mais
somme (x^n) est convergente du moment que |x|<1
alors quelque chose de plus petit...

[aviateur]

Bonjour
Visiblement la façon dont tu réponds au DSE de log(1-x) montre une sorte d'incompréhension de la notion.
En effet dire que le coefficient d'ordre n c'est est particulièrement troublant. Comme son nom l'indique est un coefficient et ne peut dépendre d'une variable x. De plus il y a un signe - qui est passé à la trappe.
Bon j'avais pas vu la question après. mais ce que j'ai dit ci-dessus reste valable
Alors pour

Et puis la règle D'Alembert dit que R=1.

Concernant le calcul des coefficients c'est pas mal massacré. En particulier n+2 ça ne fait pas 2n.

Finalement quand on écrit alors il y a des prérequis à voir ou revoir pour aborder la notion de série entière.

L'exercice est-il juste? Vu les remarques ci-dessus c'est évidemment non.
Mais avant d'aborder l'exercice, tu devrais voir ton cours et le comprendre car visiblement on voit que ce n'est pas le cas du tout.

[Anaisdeistres]

Bonjour

Sayer j'ai modifier ce qui n'allait pas maintenant quelqu'un voit une erreur ? Je réflechi maintenant à la question 4 j'ai laisser la note parce que je trouve que c'est une remarque intéressante. Est-ce-que pour la question 4 ? Dans ce cas mon résultat question 3 à l'air de coller avec l'énoncé de la question 4 je vais réfléchir à une décomposition en élément simple.

Merci !

[Ben314]

Sayer j'ai modifier ce qui n'allait pas maintenant quelqu'un voit une erreur ?

1) C'est qui Sayer ?
2) Si tu appelle ça "modifier ce qui ne va pas" que d'écrire des horreur pareille :

avec, pour x>0, un terme de gauche clairement positif et un terme de droite clairement... négatif...
Ben j'ose pas imaginer ce que ça serait si tu n'avais pas "modifié ce qui ne va pas" !!!!

[Anaisdeistres]

Non c'est pas 1+x c'est 1-x mon exercice c'est pas une horreur stp merci

[mathelot]

Salut,
niveau L2 maths G

Soit l’équation différentielle définie par :

On veut déterminer une fonction solution de (E) développable en série entière sous la forme
, série de rayon de convergence .

1. Ecrire le développement en série entière de en précisant
son rayon de convergence.
2. Déterminer les coefficients an pour tout .
3. En déduire le rayon de convergence .
4. Exprimer la somme de la série entière en termes de fonctions classiques.
Indication : On pensera à décomposer la fraction en éléments simples.

1.

avec -\frac{1}{n}"/>
il manquait un signe moins



R=1
Note: J'ai une question capital ici est-ce-que mon ou il est égal à ?
Puisque si on part de la définition la série entière est de la forme alors ?
a_n=-1/n
2.










ok

ok

ok
3.

4. ????

Est-ce-que mon exercice est juste ? J'arrive pas à faire la somme de la série entière

Mercii

[Anaisdeistres]

Merci

[mathelot]

[Anaisdeistres]

Ouai non la somme elle m'est tellement compliqué d'où sort le ?

[mathelot]

Ouai non la somme elle m'est tellement compliqué d'où sort le ?

f est la somme des termes
la difficulté c'est de bien faire la différence (le distingo) entre et

[Anaisdeistres]

a oui mais c'est terrible parce que là il faut que je trouve une primitive de et je fais ? J'ai du mal à trouver une primitive je continue de chercher

[mathelot]

expression des coefficients :


on remplace les (a_n) par leur valeur:

[Anaisdeistres]

A oui d'accord c'est bon mais par contre comme on a prit il faut prendre pour la dernière ligne pour enlever les deux premier terme c'est sa ? Je crois qu'il y a une erreur de signe

[mathelot]

non, il n'y a pas d'erreur de signe

ln(1-x) est négatif pour
donc

[Anaisdeistres]

A oui puisqu'on soustrait les deux premier membres biensure merci

[Anaisdeistres]

Bonjour,
J'ai revu la somme que voyez-vous une erreur ?





























Merci

[Anaisdeistres]

expression des coefficients :


on remplace les (a_n) par leur valeur:

Du coup j'ai fait une autre méthode puisque comme on travail sur une décomposition en élément simple mais je ne me souviens plus de son nom par contre j'ai pas trouver exactement la même décomposition en élément simple que toi tu pence que j'ai fait une erreur ?
Merci bonne journée

[aviateur]

Bonjour
@Mathelot a exprimé la solution développable en série entière (dont le rayon de convergence R=1) avec des fonction usuelles. Soit f cette fonction (dont on remarque que son domaine de définition est )
On sait que alors
pour être complet, Il serait bien de conclure en répondant aux questions suivantes.
1. La fonction f étant définie sur est-elle solution de l'équation différentielle ?
2. Quelle est le domaine de convergence de la série et la somme de cette série coïncide-t-elle avec f sur son domaine de CV?
3. Pour terminer y-a-t-il d'autres solutions de l'équation différentielle sur ?

[mathelot]

on peut regarder également ce qui se passe en x=0
@anaïs: est ce que vous avez appris à résoudre cette équation par la méthode de "variation des constantes" ?