Série et calcul de somme

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

j'essaye de déterminer la convergence et la somme (c'est là où je bloque) des deux séries de terme général respectif :

--

et

--

Pour la convergence des deux séries, c'est assez rapide :

est équivalent à puis la règle des équivalents pour les séries à terme positifs s'applique


Sinon pour , j'ai écrit d'abord la somme partielle :

et en découpant cette somme en 6 six sommes selon la congruence de "" modulo 6, on fait apparaitre des sommes partielles de séries alternées dont le terme général vérifie la règle de Leibniz, et donc la série de terme général converge.


En revanche pour calculer la somme, j'ai vraiment du mal.

Pour j'ai vite abandonné l'idée de manipuler les six sommes qui m'ont permis de montrer la convergence, et je continue de buter.

Pour je pensais essayer d'aboutir à un télescopage, mais je n'en vois pas une d'évidente, et j'ai aussi essayé de faire un DES (pour entre autres chercher un télescopage), mais j'aboutis pas.
Est-ce qu'il faut chercher un encadrement ? (perso j'ai essayé, mais je pense que je n'ai pas été assez fin)



Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[mathelot]

bonjour,

pour la (1), écrire en somme d'éléments simples:



une fois fait, utiliser



et évaluer la somme des inverses des impairs par

<------ à vérifier

en effet:

[mathelot]

pour la (2) , en distinguant les différentes congruences, ça doit faire trois sommes

à sommer séparémment , dans le même ordre d'idées.

en introduisant des termes "" like.

bon courage pour les calculs.

[mathelot]

..................

[mathelot]

pour la (2) ,

on pose pour |x|<1



L'argument du Log a manifestement une partie réelle strictement positive (dans ]0;1[)
puisque on soustraie à 1 une affixe du segment


on prend donc
avec comme détermination du logarithme,





on fait tendre x vers 1-

[mathelot]

je t'explique (vite fait) le log complexe si tu ne connais pas

on connait

on veut ,ie



du coup :

et [2\pi]



en fait , non.

On veut pouvoir suivre continuement l'argument trigonométrique de z,sans utiliser de modulo,
quand celui ci se déplace dans un ouvert du plan.

ie, avoir .

comme dans l'ouvert d'équation
on prend

le long d'un chemin du demi-plan qui va de 1 à z

pour que la définition ne dépende pas du chemin, il faut que z appartienne à un ouvert
simplement connexe où tout lacet du plan se rétracte en un point (pas de trou).

pour ce qui nous occupe, on peut prendre ,
ie, un demi-plan non troué.

[chan79]

sauf erreur

j'arrive à

[mathelot]

oui, désolé, c'est bien

[mathelot]

vous pouvez regarder mon 2ème résultat, wolfram n'indique pas la même chose.

[chan79]

vous pouvez regarder mon 2ème résultat, wolfram n'indique pas la même chose.

avec

la limite cherchée est la partie réelle de

[mathelot]

merci, j'ai vu mon erreur , j'avais oublié 1/2 devant le logarithme népérien