Calcul d'une somme par une série entière
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Bouchra
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par Bouchra » 17 Aoû 2009, 00:04
Bonsoir,
Un exo similaire ici :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=38468 MathMoiCa a écrit: skilveg a écrit:NON, dix fois non! Déjà le rayon de convergence est un réel, qui se trouve être 1, mais en plus on n'a le DSE que sur le disque ouvert (plus éventuellement en certains points du bord).
Sinon, aucune des réponses ne répond vraiment à la question, puisqu'elles ne font pas intervenir de séries entières...
Pardon, le domaine de convergence :briques:
Et ça fait bien intervenir la série entière du logarithme, prise en un certain point, non ? (je parle de ma méthode
)
M.
ToToR_2000 a écrit:Ce que tu as écrit est juste et la seule chose qui ne l'est pas, c'est l'inversion limite (t tend vers 1) et somme des séries entières.
D'après mes souvenirs approximatifs, il faut disposer de convergence uniforme pour effectuer ce genre d'inversion, et là tu n'as pas la CVU sur un compact incluant 1.
Donc ce n'est pas la méthode auquel pensait l'énoncé. Essaie plutôt de voir si ta somme n'est pas l'intégrale en un point particulier d'une série entière...
Peut être que l'exo attendait justement que l'on montre que la série de ln(1+x) converge uniformément sur [0,1] (avec les séries alternées par exemple).
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mathelot
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par mathelot » 17 Aoû 2009, 07:56
Antennea a écrit:Calculer
(2n+1)})
en utilisant une série entière.
bonjour,
on pose
=\sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{x^{2n+1}}{(n+1)(2n+1)})
on dérive
=\sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{x^{2n}}{(n+1)})
f' est fonction de la quantité
on pose
=\sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{x^{n}}{n+1})
=\sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{x^{n+1}}{n+1})
on dérive
+xg'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \, x^n=\frac{1}{1-x})
on résoud l'équation différentielle sans second membre
=\frac{K}{|x|})
pour x>0
=\frac{K}{x})
avec la méthode dite de la variation de la constante
=\frac{1}{1-x})
La solution générale g est donc:
=\frac{K}{x}-\frac{Ln(1-x)}{x})
comme les fonctions sont continues en
, K=0 par continuité.
=-\frac{Ln(1-x)}{x})
=g(x^2))
=-\frac{Ln(1-x^2)}{x^2})
= \int_{0}^{x} - \frac{Ln(1-t^2)}{t^2}dt)
on intégre par parties
= \frac{Ln(1-x^2)}{x}+<br />\int_{0}^{x} 2 \frac{dt}{1-t^2}dt)
= \frac{1-x}{x} Ln(1-x) +<br /> \frac{1+x}{x} Ln(1+x))
Quand x tend vers 1-, lim f(x)=2ln(2)
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MathMoiCa
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par MathMoiCa » 17 Aoû 2009, 13:26
Bon je parle que pour ma méthode (il faut biend éfendre son bébé)
Peut être que l'exo attendait justement que l'on montre que la série de ln(1+x) converge uniformément sur [0,1] (avec les séries alternées par exemple).
pas besoin de la convergence uniforme, juste de la convergence, non ?
et ln(1+x) n'a aucun problème en 1.
ça ne suffit pas ?
M.
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Bouchra
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par Bouchra » 17 Aoû 2009, 23:16
Bonsoir,
ln(1+x) n'a en effet pas de problème en 1, par contre ça ne suffit pas pour dire que
^{k+1}}{k}x^k=\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k})
.
La convergence uniforme sur [0,1] permet de le faire, puisqu'elle garantit la continuité de la somme.
Pour montrer cette convergence uniforme, on utilise le fait que la série
^{k+1}}{k}x^k)
est alternée et vérifie le critère de Leibniz, ce qui donne la majoration
^{k+1}}{k}x^k\| \leq \frac{1}{n+1}x^{n+1} \leq \frac{1}{n+1})
(x dans [0,1]). (sauf erreur)
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MathMoiCa
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par MathMoiCa » 19 Aoû 2009, 15:35
Ben je prends pas la limite, je remplace directement x par 1...
M.
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Bouchra
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par Bouchra » 19 Aoû 2009, 22:31
Le développement en séries entières de ln(1+x), à partir de celui de 1/(1+x) par exemple, donne seulement :
 = \Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k)
pour |x|<1
L'égalité n'est pas valable a priori en x=1, et tu ne peux donc pas remplacer directement x par 1, par contre le passage à la limite et la continuité (donnée par la convergence uniforme) permettent d'avoir l'égalité en 1. A confirmer.
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