Calcul d'une somme par une série entière

par **Antennea** » 09 Aoû 2009, 09:48

Bonjour!

L'exercice qui me pose un problème est le suivant :
Calculer

en utilisant une série entière.

J'ai déjà réussi à trouver le résultat (2ln2) par un autre moyen sûr.
En revanche, par une série entière, je trouve seulement ln2, ce qui est manifestement faux.

Je vous livre ma démo pour savoir où est l'erreur :

1°)

2°)
Pour t<1 : ln(1-t)=-

arg th t =

3°) On en déduit :

= ln(1-t)+2arg th t

4°) Or :

(Je vous passe les détails du calcul de cette limite)

Merci d'avance pour votre aide!

par **skilveg** » 09 Aoû 2009, 11:20

Bonjour,

J'ai beau creuser, je ne vois pas vraiment où ça cloche, et pourtant il y a bien un problème... Je crois que tout ce que tu dis est vrai mais que tu ne justifies pas (puisque tu ne l'affirmes pas) l'interversion somme-limite, qui n'est peut-être pas licite ici. Tu utilises quelque chose comme un théorème d'Abel?

[Edit: ce serait plutôt un théorème taubérien mais ça risque de ne pas être au programme. J'ai l'impression que le problème vient du fait d'avoir simultanément

et

... Essaie donc de tout exprimer en série en

. A suivre.]

par **ToToR_2000** » 09 Aoû 2009, 11:49

Ce que tu as écrit est juste mais c'est effectivement le passage inversion de la limite (t tend vers 1) et de la somme qui ne doit pas être permis.

Regarde dans ton cours, mais je me rappelle qu'il y a des conditions assez strictes (genre convergence uniforme) pour le faire.

Et donc si cette méthode ne marche pas, c'est que ce n'est pas celle que suggérait l'énoncé. Demande-toi plutôt si la somme que tu dois calculer n'est pas la dérivée en un point particulier d'une série entière.
Et là je pense que tu auras la convergence uniforme là où il faut.

par **ToToR_2000** » 09 Aoû 2009, 12:31

Ce que tu as écrit est juste et la seule chose qui ne l'est pas, c'est l'inversion limite (t tend vers 1) et somme des séries entières.
D'après mes souvenirs approximatifs, il faut disposer de convergence uniforme pour effectuer ce genre d'inversion, et là tu n'as pas la CVU sur un compact incluant 1.

Donc ce n'est pas la méthode auquel pensait l'énoncé. Essaie plutôt de voir si ta somme n'est pas l'intégrale en un point particulier d'une série entière...

par **MathMoiCa** » 09 Aoû 2009, 16:56

Salut,

Que dis-tu de ça ?

Et quand on a des coefficients "en bas" qui se suivent comme ça, on pense à une intégration.

En effet, considère

et intègre 2 fois

M.

par **MathMoiCa** » 09 Aoû 2009, 17:08

Salut,

Et quand on a des coefficients "en bas" qui se suivent comme ça, on pense à une intégration.

En effet, considère

et intègre 2 fois

Le gros problème est que cette écriture n'est pas définie en x=1...

Sinon, on pourrait faire comme ça :

En gros, tous les termes dont le dénominateur est impair ont un coefficient 1 et tous les termes dont le dénominateur est pair ont un coefficient -1.

On peut écrire :

Ce qui rappelle vaguement le DSE de ln(1+x)

Et par curiosité, quelle est la méthode sûre que tu avais... ?

M.

par **Antennea** » 10 Aoû 2009, 08:50

Merci à tous!

Je pense que vous avez tous raison :

Mon erreur est d'avoir à tort supposé que cette convergence était uniforme pour passer à la limite.

Mathmoica, ma méthode sûre rejoint la tienne. Le seul problème est que le rayon de convergence de ln(1+t) est ]-1;1[.

Il faut donc au préalable prouver que

Pour ma part, je le fais en décomposant la somme partielle en ln2 plus une intégrale qui tend vers 0.
A partir de là, on fait comme tu as dit.
Cette méthode est très bien, mais elle ne fait pas vraiment intervenir un développement en série entière, car on est obligé de passer à la limite...

Ne serait-il pas possible de touver un DSE avec un rayon de convergence contenant 1?

par **MathMoiCa** » 10 Aoû 2009, 17:09

Si tu regardes bien, le rayon de convergence de ln(1+t) est ]-1,1] :petard2:
Et c'est bien un DSE

M.

par **Antennea** » 10 Aoû 2009, 22:06

Et bien voilà, tout s'arrange! Merci beaucoup pour cette précision importante!

par **mathelot** » 11 Aoû 2009, 04:58

bonjour,

autre possibilité

est le terme général de la série harmonique.

celle-çi tend extraordinairement lentement vers

ie,

on montre un DL

où o(1) est la notation de Landau

la constante d'Euler

formules qui conduisent à un calcul explicite

par **Antennea** » 11 Aoû 2009, 08:12

Bonjour Mathelot,

Merci pour ta suggestion, mais je ne vois pas comment faire à partir de la série harmonique, où tous les termes sont positifs, pour arriver à la série de l'énoncé. Pourrais-tu donner d'autres indications?

par **mathelot** » 11 Aoû 2009, 10:38

Le 1er terme est le terme général de la série harmonique
Le 2ème terme est le terme général des inverses des entiers impairs
mais la somme partielle des inverses des entiers pairs est la moitié
de la somme elle-même

par **Antennea** » 12 Aoû 2009, 09:59

Mathelot, j'ai essayé ta suggestion sans aboutir :

Et après? Je suis sans doute parti dans une mauvaise direction!

par **mathelot** » 12 Aoû 2009, 11:16

Antennea a écrit:

Et après?

bonjour,

j'ai la flemme de vérifier tes calculs.
si cette dernière égalité est exacte, on l'interpréte comme
une somme de Riemann de l'intégrale

en factorisant par

ce qui devrait donner une limite du style 2 ln(2).........

par **mathelot** » 13 Aoû 2009, 06:46

re,

excuse moi, le dernier post de 11h16 est faux. Il ne s'agissait pas d'une somme de Riemann...

procédons autrement:

on montre, en comparant la série harmonique à l'intégrale de

sur [1;n] que

d'où

Le développement limité de la 1ère somme donne:

en séparant les termes pairs et impairs dans la somme suivante

dans la somme partielle du début, on remplace par les différents DL:

ça se simplifie, on trouve 2ln(2) comme limite

par **Antennea** » 13 Aoû 2009, 07:59

OK, Mathelot, très bien!

par **skilveg** » 15 Aoû 2009, 17:54

MathMoiCa a écrit:Si tu regardes bien, le rayon de convergence de ln(1+t) est ]-1,1] :petard2:

NON, dix fois non! Déjà le rayon de convergence est un réel, qui se trouve être 1, mais en plus on n'a le DSE que sur le disque ouvert (plus éventuellement en certains points du bord).

Sinon, aucune des réponses ne répond vraiment à la question, puisqu'elles ne font pas intervenir de séries entières...

par **mathelot** » 15 Aoû 2009, 19:12

skilveg a écrit:Sinon, aucune des réponses ne répond vraiment à la question, puisqu'elles ne font pas intervenir de séries entières...

ah bah vi, on avait complètement oublié ça: les séries entières... :doh:

on pose

on dérive une fois.
puis on évalue

...que l'on redérive ensuite.

.............................................

par **skilveg** » 15 Aoû 2009, 19:17

C'est quoi pour toi une série entière?

par **MathMoiCa** » 15 Aoû 2009, 21:43

skilveg a écrit:NON, dix fois non! Déjà le rayon de convergence est un réel, qui se trouve être 1, mais en plus on n'a le DSE que sur le disque ouvert (plus éventuellement en certains points du bord).

Sinon, aucune des réponses ne répond vraiment à la question, puisqu'elles ne font pas intervenir de séries entières...

Pardon, le domaine de convergence :briques:

Et ça fait bien intervenir la série entière du logarithme, prise en un certain point, non ? (je parle de ma méthode

)

M.

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