Je bloque sur la démonstration de cette proposition.
Cas où
On considère l'équation différentielle :
Si l'équation caractéristique
En suivant l'indication de mon livre, j'ai posé :
On suppose que
Je trouve :
Mais je ne vois pas où introduire
Seconde ordre
15 messages
- Page 1 sur 1
Seconde ordre
par mehdi-128 » 13 Mai 2019, 23:58
Bonsoir,
Je bloque sur la démonstration de cette proposition.
Cas où
. Soit 
On considère l'équation différentielle :
et son équation caractéristique 
Si l'équation caractéristique a 2 racines distinctes 
et 
alors les solutions de )
dans 
sont les fonctions :
avec  \in \C^2)
En suivant l'indication de mon livre, j'ai posé :=f(x) e^{-rx})
avec 
une racine de l'équation caractéristique.
On suppose que
est une solution de donc elle est 2 fois dérivables, donc 
aussi.
Je trouve : solution de si et seulement si 
est solution de y=0)
Mais je ne vois pas où introduire
Je bloque sur la démonstration de cette proposition.
Cas où
On considère l'équation différentielle :
Si l'équation caractéristique
En suivant l'indication de mon livre, j'ai posé :
On suppose que
Je trouve :
Mais je ne vois pas où introduire
Re: Seconde ordre
par pascal16 » 14 Mai 2019, 06:52
avec z, tu n'es pas dans le cas où r=r1=r2 car dans C, l'équation en r² a soit 2 racines distinctes, soit 1 racine double ?
Re: Seconde ordre
par aviateur » 14 Mai 2019, 10:25
tu poses 
. Mais je ne comprends la démo est dans ton livre ou pas?
Comme
= c e^{(-a - 2 r) x}, c_1\in \C)
donc= - c/(a+2 r) e^{(-a - 2 r) x}+ c_2 , c_2\in \C,)
Donc= - c/(a+2 r) e^{(-a - r) x}+ c_2 e^{ rx} , c_2\in \C,)
En posant)
on obtient le résultat:
=c_1 e^{(-a - r) x}+ c_2 e^{ rx} , c_1, c_2\in \C,)
Comme
donc
Donc
En posant
Re: Seconde ordre
par tournesol » 14 Mai 2019, 14:36
Si r et sont les deux racines distinctes , alors 
donc 
Re: Seconde ordre
par mehdi-128 » 14 Mai 2019, 15:35
Ah d'accord merci donc on a montré :
 \in \C^2 \})
?
Pour montrer que c'est l'ensemble des solutions, il faut montrer l'inclusion inverse non ?
Pour montrer que c'est l'ensemble des solutions, il faut montrer l'inclusion inverse non ?
Re: Seconde ordre
par mehdi-128 » 14 Mai 2019, 16:12
Merci Tournesol.
Et dans le cas où j'ai une racine double, Soit la solution de
Alors
Donc :
on obtient : =0)
Donc= \lambda_1)
et ainsi  = \lambda_1 x + \lambda_2)
Enfin := (\lambda_1 x + \lambda_2) e^{rx})
avec  \in \C^2)
On a montré : e^{rx} , (\lambda_1,\lambda_2) \in \C^2 \})
On est obligé de vérifié l'inclusion inverse ?
Et dans le cas où j'ai une racine double, Soit
Alors
Donc :
Donc
Enfin :
On a montré :
On est obligé de vérifié l'inclusion inverse ?
Re: Seconde ordre
par tournesol » 14 Mai 2019, 17:39
Si tu as démontré que f est solution de Eo ssi z est solution de E1 , tu n'est pas obligé de démontrer l'inclusion inverse .
Re: Seconde ordre
par mehdi-128 » 14 Mai 2019, 20:11
J'ai une autre question. Dans mon livre il est écrit : (je n'ai pas encore vu les espaces vectoriels) :
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est un 
espace vectoriel de dimension 2 puisque ses éléments sont les combinaisons linéaires de deux solutions non proportionnelles. On dit que l'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un plan vectoriel.
Si il y a une racine double, la solution est sous la forme :e^{r_0 x}=\lambda_1 e^{r_0 x} + \lambda_2 x e^{r_0 x})
Je ne comprends pas comment on sait que :
est solution de 
J'ai calculé :)
Or
Je n'arrive pas à finir
Donc :)
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle
Si il y a une racine double, la solution est sous la forme :
Je ne comprends pas comment on sait que :
J'ai calculé :
Or
Je n'arrive pas à finir
Donc :
Re: Seconde ordre
par mehdi-128 » 14 Mai 2019, 20:54
La racine double de l'équation caractéristique.
Re: Seconde ordre
par mehdi-128 » 14 Mai 2019, 22:21
Ah merci !
 = e^{r_0x} x (r_0 ^2+ar_0+b)=0)
car 
est solution de l'équation caractéristique.
15 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 105 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :