Rudiments de topologie sur R

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je n'arrive pas à montrer que les seules parties de R qui sont à la fois ouvert et fermé sont l'ensemble vide et R.

Je tourne vraiment en rond.

Si quelqu'un peut m'indiquer quelques pistes svp

Je vous remercie d'avance

[Ben314]

ça fait (plus ou moins) partis des "axiomes compliqués" de R (i.e. à un moment ou un autre, vu que l'on ne t'a jamais fait construire l'ensemble des réels, on t'a fait admettre un truc qui va entrainer ce résultat)
As tu vu par exemple que toute partie non vide et minorée admettait une borne inférieure ?
(ou bien que toute suite décroissante et minorée converge : ça peut suffire aussi...)

Concernant la preuve elle même, le plus simple est peut être de partir d'une partie A ouverte-fermée et non vide de R et de montrer que c'est forcément R tout entier.
Tu prend un a dans A (possible car A est non vide) et tu considère l'ensemble des réels S des x>=a tels que [a,x] soit contenu dans A.
Il est non vide (a est dedans).
S'il n'est pas majoré, ça veut dire que [a,+\infty[ est dans A
S'il est majoré, il admet une borne supérieure x0. Du fait que A est fermé tu déduit que x0 est dans A puis du fait que A est ouvert tu déduit... une contradiction...

[jonses]

As tu vu par exemple que toute partie non vide et minorée admettait une borne inférieure ?
(ou bien que toute suite décroissante et minorée converge : ça peut suffire aussi...)

Oui, j'ai vu tout ça^^

Concernant la preuve elle même, le plus simple est peut être de partir d'une partie A ouverte-fermée et non vide de R et de montrer que c'est forcément R tout entier.
Tu prend un a dans A (possible car A est non vide) et tu considère l'ensemble des réels S des x>=a tels que [a,x] soit contenu dans A.
Il est non vide (a est dedans).
S'il n'est pas majoré, ça veut dire que [a,+\infty[ est dans A
S'il est majoré, il admet une borne supérieure x0. Du fait que A est fermé tu déduit que x0 est dans A puis du fait que A est ouvert tu déduit... une contradiction...

Merci beaucoup, mais je suis encore bloqué, je ne vois pas sur quel constat je dois aboutir du fait que A est ouvert.

J'ai essayé de faire autrement. J'ai essayé par l'absurde, mais mon raisonnement s'est démoli quand je me suis rendu compte que j'ai admis quelque chose que je n'ai pas prouvé/vérifié au préalable.

En gros, je me suis donné une partie de R, disons G, tel qu'elle soit ouverte et fermée.
Puis je suppose qu'elle n'est ni égale à l'ensemble vide, ni égale à R.
Puis j'ai dit sans justifier que G est minorée ou majorée,
Et c'est là le gros problème ! Je n'arrive pas à justifier cela, j'ai essayé de montrer que G est convexe et donc que c'est un intervalle de R (dans ce cas je pourrai admettre qu'elle est minorée ou majorée), mais je bloque encore

En fait c'est pas possible de montrer ça, vu que mon raisonnement montrait justement que G ne peut pas être minorée ou majorée !

[Ben314]

Ca sert à rien de passer "par l'absurde".
Sur les 4 propriétés "être ouvert", "être fermé", "être non vide", "être différent de R" tu en suppose 3 de vraies et il faut montrer que la 4em est fausse (les preuve par l'absurde, il ne faut en faire que quand c'est indispensable vu qu'on peut pas se faire "d'exemples" de ce qu'on est en train de faire"

Allez, tient, on va changer par rapport à le première version sur laquelle je t'ai aiguillé (mais ça change pas gras dans la preuve...)
Supposons que A est non vide, différent de R et Fermé.
Comme il est non vide, je peut prendre un a dans A et, comme il est différent de R, je peut trouver un réel b qui n'est pas dans A.
Supposons que b0[/TEX], n'est pas dans S (définition de la borne inf) donc (définition de S) et donc ce qui prouve que A n'est pas ouvert.

[jonses]

Finalement, après en avoir parlé longtemps avec un ami, il a construit une démo qui est claire, sauf sur un petit point que j'ai du mal à justifier (à mon avis c'est un point plutôt intuitif):

Soit A une partie non vide de R et différent de R.

On suppose A à la fois ouvert et fermé.
Soit a un élément de A (on dispose bien d'un car A n'est pas vide)

Il introduit ensuite
et

Ces deux ensembles sont non vides (car A est ouvert)

Soit est majoré soit est majoré, car si aucun n'était majoré alors on aurait 1) , et donc A=R (1), ce contredirait notre hypothèse de départ

Puis il introduit la borne sup, etc... et aboutit sur la contradiction que l'intersection de A et de son complémentaire dans R est non vide.

C'est la partie (1) que j'ai du mal à justifier (même si elle me parait vraie intuitivement), comment est-ce que cela se montre ?

[Ben314]

Bon, déjà, au cas où tu aurais pas fait gaffe, c'est très exactement la même chose que ce que je te proposait...
Attention :

Au moins l'un des deux est majoré...

Non : ce qui est vrai c'est que "soit E+ est majoré, soit E- est minoré".

(1) , et donc A=R (1), ce contredirait notre hypothèse de départ

ça, c'est évident : si tu prend un réel x quelconque puis que tu prend epsilon=|x-a|+1 alors x est dans l'intervalle ]a-epsilon,a+epsilon[ donc dans A

[jonses]

Bon, déjà, au cas où tu aurais pas fait gaffe, c'est très exactement la même chose que ce que je te proposait...

Oui, je l'avais remarqué, mais je n'arrivait pas à aboutir à une contradiction en considérant le cas où l'ensemble que tu as introduit était majoré

Attention :Non : ce qui est vrai c'est que "soit E+ est majoré, soit E- est minoré"

Désolé... je rectifie ça tout de suite (c'est moi qui ai mal recopié)

ça, c'est évident : si tu prend un réel x quelconque puis que tu prend epsilon=|x-a|+1 alors x est dans l'intervalle ]a-epsilon,a+epsilon[ donc dans A

C'est surtout le "quel que soit" dans : que je n'arrive pas à justifier