Riemann intégrable!

[stitch]

Bonsoir tout le monde,
J’ai une petite question d’analyse :
Montrez que la fonction f telle que f(0)=0 et f(x)=sin(1/x) pour x appartenant à ]0,1] est Riemann-intégrable sur [0,1].
Merci pour votre aide :we:

[BQss]

salut,

-1

[emdro]

salut,

-1<sin(1/x)<1 ...

Bonsoir,

la fonction indicatrice de aussi, mais pourtant, elle n'est pas intégrable au sens de Riemann...

[BQss]

Ouai bon la c'est continue.

La fonction indicatrice Q n''admet meme pas d'integrale au sens de riemann, elle aura du ma a etre integrable ;).

[emdro]

Pas en 0...

[BQss]

Pas en 0...

Il suffit d'avoir continue par morceau et majoré.
D'ailleurs le f(0)=0 ne sert a rien, on pourrait prendre l'integrale généralisé...

[emdro]

Voilà, on en arrive au théorème:
si une fonction f est bornée sur le compact [a,b] et continue sur l'ouvert ]a,b[, alors elle est intégrable sur [a,b].

@Stitch,
C'est bizarre cet exo d'application directe. Peut-être dois-tu le prouver "à la main"?

[BQss]

Voilà, on en arrive au théorème:
si une fonction f est bornée sur le compact [a,b] et continue sur l'ouvert ]a,b[, alors elle est intégrable sur [a,b].

Ouai ou tout simplement borné sur ]a;b[ et continue par morceau.
Ici on a une fonction sufisament reguliere le f(0)=0 est sans interet, c'etait triviale pour moi que Riemann avait un sens, il ne restait donc plus qu'a traiter la partie "integrable"...

La partie "avoir un sens" c'est la partie continue du theoreme... La partie "integrable" ne concerne que la majoration et la continuité est alors sans interet vis-a-vis de l'integrabilité, elle ne s'occupe que de la legitimité de la somme de riemann qui possède alors une limite(fini ou infini) ou pas...
Alors que l'integrale peut exister tout en ayant une fonction pas integrable (somme de riemann qui tend vers l'infini)...

[emdro]

Tout à fait d'accord.

Mais encore une fois, cela dépend du niveau de celui qui pose la question. Si on est en début de sup, et qu'on vient de définir l'intégration au sens de Riemann par les sommes de Darboux, la réponse est moins immédiate! Et dans les cas où la réponse est immédiate, la question ne devrait pas se retrouver sur ce forum, non?

Stitch est parti :salut: , il ne pourra pas nous renseigner!

[BQss]

Oui, on donne pas toujours des reponses toutes faites tu sais, on aide, la c'etait surtout pour le guider.

Je crois qu'il est en prepa HEC et qu'il passe en 2ème année si je me souviens bien de lui.

[stitch]

Bonjour merci pour vos réponses,
Je viens de trouver ça sur Wikipédia :
Corollaire 3 — Si f est continue sur [a,b] sauf peut-être en un nombre fini de points de discontinuité, et si f est bornée, alors f est intégrable.
Mais dans mon exo, j’ai :
Soit f définie sur [0,1] par :
F(x)=0 si x n’appartient pas à Q.
Si x appartient à Q : x=p/q, f(x)=1/q.

Etudier la continuité de f. Montrez que f est Riemann-integrable.

On voit bien que cette fonction a un nombre INFINIE de points de discontinuité (sauf erreur) et pourtant on nous demande bien de prouver qu’elle est intégrable !? :briques:

[legeniedesalpages]

C'est la fonction popcorn, elle est continue sur les irrationnels et discontinue sur les rationnels: http://en.wikipedia.org/wiki/Popcorn_function.


Edit: Je suis curieux de savoir pourquoi elle est riemann-intégrable, elle n'est même pas continue par morceaux. :doh:

[stitch]

merci pr le lien!

[emdro]

On voit bien que cette fonction a un nombre INFINIE de points de discontinuité (sauf erreur) et pourtant on nous demande bien de prouver qu’elle est intégrable !? :briques:

Ne confonds pas un théorème et sa réciproque...

Le théorème te dit que si le nombre de points de discontinuité est fini, la fonction est intégrable. Dans les cas où il y a un nombre infini de points de discontinuité, il ne se prononce pas.

Il n'y a donc aucune contradiction avec le fait que ta fonction soit intégrable.

[Pouick]

Oui certe... mais elle n'est pas integrable au sens de Riemann celle ci .. si ?
:doh:

[emdro]

Si!

Il n'y a guère de difficultés à "encadrer" cette fonction par deux fonctions en escalier dont la différence des intégrales tende vers 0.

Pour epsilon>0, il suffit de prendre
*la fonction nulle
*la fonction égale à epsilon.

La fonction Pop-corn est bien comprise entre ces deux fonctions, sauf pour un nombre FINI de points.

Donc non seulement elle est intégrable, mais on peut même affrimer que son inégrale est nulle.

[BQss]

Salut, j'ajouterai ceci a ce que t'as précisé emdro:
Ce qui rentre en comptre c'est si le nombre de point de discontinuité est infinie non denombrable c'est a dire pas en bijection avec N, la tu es sur et certain que la somme de Riemann n'a pas de limite. Quand le nombre de point de discontinuité est infinie denombrable il faut regarder de plus pres.

Ici les points de discontinuité sont sur les rationnels, ensemble qui est en bijection avec N.

[BQss]

Par exemple si on inverse le probleme ici:

Soit f définie sur [0,1] par :
F(x)=0 si x appartient à
Si x n'appartient pas à : f(x)=x.
C n'est pas riemann integrable.

[fenecman]

Si!

Il n'y a guère de difficultés à "encadrer" cette fonction par deux fonctions en escalier dont la différence des intégrales tende vers 0.

Pour epsilon>0, il suffit de prendre
*la fonction nulle
*la fonction égale à epsilon.

La fonction Pop-corn est bien comprise entre ces deux fonctions, sauf pour un nombre FINI de points.

Donc non seulement elle est intégrable, mais on peut même affrimer que son inégrale est nulle.

Mais dans ce cas là, la fonction de Dirichlet qui à x associe 0 si x est irrationnel et 1 sinon serait Riemann-intégrable , or il me semble que mon prof de maths me l'avait donné comme exemple de fonction non intégrable...

[emdro]

Effectivement la fonction de Dirichlet n'est pas intégrable au sens de Riemann, mais elle n'entre pas dans le cadre de ma démonstration, car au dessus de epsilon, il y a toujours une infinité de valeurs, contrairement à "Pop-corn".