Fonction exponentielle intégrable

[Nanana]

Bonjour tout le monde

Voilà je coince sur un truc qui est sans doute tout bête mais bon je bloque :doh:

a est réel

En fait, je dois déterminer l'ensemble I(f) des a tels que la fonction x->exp(-ax)f(x) est intégrable au sens de Lebesgue sur [0;+inf[

on pose 2/ f(x) = exp(-x²)

L'ensemble des a est R mais voilà j'arrive pas à poser une démonstration claire... Je bloque sur la bonne justification à utiliser... Pourriez-vous m'aider svp ?

De même pour 3/ f(x)= 1(]0,1])(x) (fonction indicatrice) -ici I(f)= ensemble vide- et 4/ f(x)= 1([1,+inf[) -et là I(f)=]0,+inf[-

Pour 1/ f(x)=exp(x) j'ai fait une IPP et ainsi j'ai pu voir clairement où était intégrable la fonction mais pour celles citées ci-dessus j'ai beaucoup plus de mal :hum:
Il s'agit peut-être d'équivalences ???!!!
Par exemple pour la 3/ dire que la fonction exp(-ax)f(x) est positive et équivalente en 0 à dont l'intégrale diverge pour tout a
Pour la 4/ dire que la fonction exp(-ax)f(x) est également positive et équivalente en +inf à la fonction exp(-ax) dont l'intégrale converge si a>0
Pour la 2/ c'est par contre le flou total :triste: ( elle n'est pourtant pas sorcière cette fonction )

Pourriez-vous me dire si ces justifications sont-elles correctes et rigoureuses ?

Merci d'avance !

[abcd22]

Bonjour,
C'est bon pour les question 3 et 4.
Pour la 2, au voisinage de (plus ou moins) l'infini f est négligeable devant n'importe quelle fonction de la forme , donc pour un réel a donné, pour tout réel b, au voisinage de +/- l'infini. Ensuite il faut bien choisir b pour montrer l'intégrabilité de au voisinage de + infini puis de -infini.

[serge75]

reprenons.
Tout d'abord, petit coup de frime, ton problème porte sur la transformée de Laplace : sous réserve d'existence de l'intégrale à venir, pour toute fonction f définie sur R+, on pose .
L(f) est la transformée de Laplace de f.
Appelons I(f) l'ensemble des a pour lesquels l'intégrale ci-dessus existe (au sens de Lebesgues, ou en d'autre terme pour une fonction continue par morceaux, l'ensemble des a pour lesquels l'intégrale est absolument convergente).
Si a appartient à I(f), alors pour b>a, on a , ce qui prouve que b est aussi dans I(f).
Donc :
Si I(f) n'est pas vide, alors I(f) est un intervalle non majoré : du type , ou ou .
on limite souvent I(f) aux valeurs positives de a ce qui dans ce cas élimine le premier type.

1 - Pour .
La fonction est continue sur , ce qui fait que le seul problème est en l'infini. Or pour toute valeur de a on a : , d'où son intégrabilité et I(f)=R.

2 - Pour .
Alors pour toute valeur de a on a l'équivalent , et de ce fait n'est pas intégrable au voisinage de 0.
Donc I(f) est vide.

3 - .
Alors la fonction est continue sur , ce qui fait que le seul problème est en l'infini.
Pour x>, on a .
Donc pour a négatif ou nul, l'intégrale diverge (la fonction à intégrer est plus grande que 1/x).
Pour a>0, la fonction à intégrer est négligeable devant et est intégrable. Donc

[Nanana]

Eh bien merci à vous deux pour votre aide ! Le brouillard s'est dissipé dans ma tite tête :king2:

[Nanana]

1 - Pour .
La fonction est continue sur , ce qui fait que le seul problème est en l'infini. Or pour toute valeur de a on a : , d'où son intégrabilité et I(f)=R.

En fait j'aurai une dernière question... C'est sans doute évident mais en fait je me demandais d'où venait l'équivalence en +infini que tu as écrite ? :hein:

[serge75]

ce n'est pas une équivalence, mais une relation de négligeabilité, qui vient des croissances comparées.