Riemann intégrable

[Ncdk]

Bonjour,

Soit

EDIT : Soit ou plus brièvement et est la fonction indicatrice de l'ensemble

1) Vérifiez que les fonctions sont bornées et Riemann intégrables.
2) Calculez les limites des . Que pouvez-vous en dire ?

Réponse :

1) De manière assez rapide on voit que est compris en 0 et 1, donc les sont bornées.

C'est une fonction en escalier, donc Riemann ingérable sur [0;1]

2) J'ai commencé par étudier les deux cas, c'est-à-dire qu'on prend un et j'ai conclu que

Puis dans l'autre cas, on prend et j'ai conclu que

Maintenant je sais pas tellement ce que je peux en dire, on trouve deux limites différentes, ça veut dire que les ne converge pas, étant donné qu'on a deux limites, mais je vois pas ce que je peux dire d'autres :'(

[zygomatique]

salut

à quoi sert n ?

ce n'est surement pas une fonction en escalier (voir definition) et elle est l'exemple typique de fonction non Riemann-intégrable

:ptdr:

[Ncdk]

J'ai pas précisé me semble, en fait c'est la fonction indicatrice de l'ensemble

C'est surement mieux pour voir que c'est Riemann intégrable

[zygomatique]

qui sont x_1, x_2, .... , x_n ?


as-tu lu ce que j'ai écrit ?

[Ncdk]

Oui oui j'ai lu, mais ça change probablement quelque chose, j'ai oublié un bout de l'énoncé, j'édites mon premier message avec la mention EDIT :

EDIT : fait

[Ncdk]

Bonsoir,

Une idée ?

[MouLou]

Bonsoir. d'après ce que tu dis, et il me semble que c'est bien cela, ta fonction converge simplement vers f qui est l'indicatrice de Q. Par ailleurs cette fonction ne peut pas être riemann-intégrable, sinon un théorème de convergence dominée avec f comme chapeau intégrable te permettrait d'affirmer que l'intégrale de f est nulle. Or f est positive et non nulle, donc y'a un probleme. J'espere que je ne dis pas de bétise je suis rouillé sur la riemann-intégrabilité

[arnaud32]

pour ;
et la fonction indicatrice de
tes fonctions sont reglees donc rieman integrables et bornees car a valeur dans [0,1]

la limite simple des est l'indicatrice de qui n'est pas rieman integrable, ce qui te dit que la convergence ne peut pas etre uniforme

[MouLou]

Et comment montrer qu'elle n'est pas Riemann intégrable? C'est pas justement le but de l'exercice?

[Robot]

En appliquant la définition d'intégrabilité au sens de Riemann : est-ce que la borne supérieure des sommes de Darboux inférieures est égale à la borne inférieure des sommes de Darboux supérieures ?