Riemann intégrable!

par **quinto** » 11 Aoû 2007, 15:30

fenecman a écrit: or il me semble que mon prof de maths me l'avait donné comme exemple de fonction non intégrable...

Si c'était le cas, on ne te demanderait pas de prouver qu'elle est intégrable ...

par **stitch** » 11 Aoû 2007, 19:46

bonjour tout le monde,

emdro a écrit:il y a toujours une infinité de valeurs, contrairement à "Pop-corn".

ben pk dans le cas de la "pop-corn" c'est pas infini ?

BQss a écrit: Je crois qu'il est en prepa HEC et qu'il passe en 2ème année

dsl je suis en L2 et je passe en L3 (et j'ai jamais fait une prépa hec!)

par **emdro** » 11 Aoû 2007, 23:37

emdro a écrit:Effectivement la fonction de Dirichlet n'est pas intégrable au sens de Riemann, mais elle n'entre pas dans le cadre de ma démonstration, car au dessus de epsilon, il y a toujours une infinité de valeurs, contrairement à "Pop-corn".

Il faut toujours faire les citations en entier!
Non, pour ta fonction Pop-corn, il n'y a pas une infinité de valeurs AU-DESSUS de EPSILON.

par **stitch** » 11 Aoû 2007, 23:58

bonsoir emdro,
merci pour ta réponse.

par **emdro** » 12 Aoû 2007, 00:05

Puisque tu es en L2, je peux préciser que pour démontrer cela, tu peux construire assez facilement les sommes de Darboux de différence inférieure à epsilon>0 . Tu prends 0 pour l'inférieure, et Epsilon/2 en géneral pour la supérieure, sauf pour les points où ta fonction est supérieure à epsilon/2. Dans ce cas, tu majores carrément par 1, mais sur un intervalle assez petit pour que la somme totale fasse moins de epsilon/2. C'est possible puisque le nombre de points au dessus de epsilon/2 est fini. Et c'est gagné.

par **stitch** » 12 Aoû 2007, 14:58

bonjour emdro, merci bcp pour ta réponse :we:
mais voici ce que j'arrive pas vraiment à cerner :
(si j'ai bien compris) la "pop-corn" est Riemann-intégrable parce que on peut trouver deux fonctions : la fonction nulle et epsilon de maniere a ce que ces deux fcts la bornent (sauf pour un nombre fini de points au dessu du epsilon);
alors que la dirichlet n'est pas Riemann-intégrable car ya un nombre infinis de points au dessu du epsilon ... mais, dans cas pk ne pas prendre un nombre assez grand (par exemple: 1,5? dans ce cas la fonction est bien bornée par la fonction nulle et la fonction egale a 1,5)
:marteau:
merci.

par **quinto** » 12 Aoû 2007, 18:33

stitch a écrit: mais, dans cas pk ne pas prendre un nombre assez grand (par exemple: 1,5? dans ce cas la fonction est bien bornée par la fonction nulle et la fonction egale a 1,5)
:marteau:
merci.

Pour quoi faire ?
Tu montrerais que l'intégrale supérieure est plus petite que 1.5 * longueur de l'intervalle.
Si on veut prouver la Riemann intégrabilité, notre but est de montrer que l'intégrale supérieure est aussi proche que l'on veut de l'intégrale inférieure qui vaut 0.

par **stitch** » 12 Aoû 2007, 19:57

merci quinto, j'ai compris :we:

par **El_Gato** » 12 Aoû 2007, 22:37

stitch a écrit:merci quinto, j'ai compris :we:

Il y a un théorème général: une fonction est Rieman-intégrable ssi l'ensemble de ses points de discontinuités est de mesure nulle.

Riemann intégrable!

Qui est en ligne