Resolution d'yn systeme avec wronskien

[Rik95]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour comprendre comment on résous un système d’équation différentiel en calculons leur déterminant ... j'ai essayer de chercher des exemples mais je n'ai pas trouver grand chose :/

J'en ai principalement besoin pour résoudre des équations différentielle de second d'ordre en utilisant la méthode de variation de la constante mais tout les exercices corrigés que je trouve donne directement le résultat ...

Par exemple comment faire pour résoudre ce système d’équation et obtenir C1'(x) et C2'(x)

C1'(x)cos(x)+C2'(x)sin(x) = 0
-C1'(x)sin(x) +C2'(x)cos(x) = 1/cos(x)

Si quelqu'un peut me montrer la méthode pas a pas pour résoudre ce système ...

Merci

[lionel52]

Bah c'est comme une équation type

ax + by = t
cx + dy = u

d'inconnues x et y

La solution est, lorsque D = ad - bc =/= 0

x = 1/D * (at - cu)
y = 1/D * (-bt + du)

[Rik95]

Merci pour ta réponse

Si j'ai bien compris alors dans mon systeme, j'ai a = d = cos(x) et b = c = sin(x)

En Appliquant la premiere formule j'obtient C1' = sin(x) mais dans la correction il y'a mit que c'est sin(x)/cos(x) ... aurai je fais une erreur dans mes calculs ?

[Ben314]

L1 -> C1'(x)cos(x)+C2'(x)sin(x) = 0
L2 -> -C1'(x)sin(x) +C2'(x)cos(x) = 1/cos(x)

Plutôt que d'apprendre des "recettes", un peu de bon sens (appellé "méthode du pivot de Gauss"... :ptdr: ) te conduit dans un cas comme celui là à écrire que :
cos(x).L1-sin(x).L2 -> ...
sin(x).L1+cos(x).L2 -> ...

[Rik95]

Euh je n'ai pas très bien compris ce que tu veux dire ?

[Ben314]

Si tu multiplie te première équation par cos(x), la deuxième par sin(x) et que tu retranche la deuxième à la première, ça fait quoi ?

[Rik95]

effectivement c'est une bonne observation, cela permettrai de résoudre l’équation ^^

mais qu'en est il si je veux utiliser la premiere methode qui consiste a calculer le déterminant ?

[Ben314]

Ce ne sont pas deux "méthodes différentes", mais deux fois la même chose présentés de façon (à peine) différentes.
Partant du système
ax+by=c
a'x+b'y=c'
si tu cherche la valeur de x (par exemple), ça te conduit à multiplier l'équation 1 par b' et la 2 par b puis les soustraire pour "éliminer" les y. ça donne donc
(ab'-a'b)x=cb'-c'b
et comme par hasard, le coeff que tu as devant le x, ben c'est le déterminant du système et tu vérifiera que, si tu cherchais à éliminer les x (donc si tu fait (équation 1) x a' - (équation 2) x a) tu trouverais le même coeff. devant le y.

Normalement, on commence à apprendre à résoudre les systèmes linéaires par combinaison linéaires (pivot de Gauss) puis on voit ensuite qu'on peut récrire les mêmes résultats sous la forme de déterminant.
Dans la "théorie", c'est trés joli et bien pratique pour montrer des résultats théorique, mais dans la pratique "calculatoire", c'est souvent bien plus rapide d'en revenir à la bonne vieille méthode des combinaisons linéaires.
Ca a en plus l'énorme avantage d'éviter d'utiliser une formule "sortie d'un chapeau" (i.e. apprise par cœur sans la comprendre) et très souvent... fausse... ou utilisée dans un contexte où elle ne s'applique pas.

[Rik95]

Je vois, merci pour l'explication :)
C'est en effet plus pratique de faire comme ça ^^