Pb de résolution d'équation ...

[laurenta78]

Bonjour,

J'ai un problème quant à la résolution d'un problème ( :hum: certainement un problème de connaissances d'ailleurs) et j'espère poster ce message sur le bon forum ... avec mes excuses en cas d'erreur.

Le sujet est à usage financier. Je cherche le point d'intersection (date, montant) de 2 courbes, l'une étant le solde d'un compte d'épargne et l'autre correspondant au capital restant dû d'un emprunt.

Mathématiquement, j'ai bien les équations :

1. Pour l'épargne :

CA = VERS * { [(1 + Te) ^ (n+1) - 1] / Te - 1 }

où CA est le capital constitué après versement VERS de n mensualités et Te le taux d'épargne.

2. Pour l'emprunt :

CRD = (1 + Tc)^(n) * (CAP - MENS / Tc) + MENS / Tc

où CRD représente le capital restant dû après n mensualités MENS versées ;
CAP est le capital emprunté à un taux mensuel Tc


Je vous donne le début de mon raisonnement, au cas où j'aurais déjà fait une erreur.
Pour la solution recherchée, je pars du principe que je cherche le nombre n de mensualités pour lequel CRD = CA

donc :

VERS * { [(1+Te)^(n+1) - 1]/Te - 1 } = (1+Tc)^(n) * (CAP - MENS/Tc) + MENS/Tc

j'aboutis à :

VERS / Te * (1+Te)^(n+1) - (1+Tc)^(n) * (CAP - MENS/Tc) = MENS/Tc + VERS/Te + VERS

Et là ... Je sèche ! mes compétences s'arrêtent là (où alors, j'étais vraiment pas sur la bonne voie, et il y a plus simple, ce qui est aussi envisageable)

Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît, par la formule finale (même si cette demande à titre exceptionnel n'est peut-être pas très académique ici), mais également en me donnant des indices pour rechercher les notions mathématiques qui me manquent pour aboutir au résultat ?

Merci d'avance pour votre patience.

LaurentA78

[laurenta78]

Bonjour,

Je suis toujours à la recherche de ma solution ... J'ai beau multiplié mes tentatives sur internet pour trouver un indice, c'est sans succès ...

J'accepte toutes les lignes de recherches, au moins, pour aboutir ... Je vous remercie encore pour votre aide.

LaurentA78

[nyafai]

bonjour
honnêtement je ne suis pas sûr que ce soit ce que tu cherches mais si tu peux utiliser le fait que Tc et Te soient petits devant 1 (ce qui est plausible), tu peux faire les approximations suivantes :

(1+Te)^(n+1)=1+(n+1)Te
et (1+Tc)^n=1+nTc
d'où:

VERS{[(1+Te)^(n+1) - 1]/Te - 1 }=(à peu près) VERS{(1+(n+1)Te-1)/Te - 1}=nVERS
et (1 + Tc)^(n) * (CAP - MENS / Tc) + MENS / Tc
= (1+nTc)CAP+(1-(1+nTc))MENS/Tc
=CAP+nTc(CAP-MENS/Tc)

et l'égalité donne : ce que tu sembles chercher

[laurenta78]

Merci beaucoup, Nyafai, pour ta réponse.

Je teste la solution que tu m'as donnée dans les exemples que j'ai et je te tiens informé