Résolution système d'équation du 2e degrès à 3 inconnues

[ibreez]

Bonjour,
Je viens à vous afin de vous demander de l'aide pour la résolution d'un système d'équation qui me prends pas mal la tête. J'essaies de le résoudre depuis maintenant quelque temps mais je n'arrive pas à trouver une écriture de x, y et z en fonction de a, b, c et R qui sont donné avant l'execution du système.

Pour ceux qui se demande, ce système est établis par l'intersection de 3 sphères où l'on cherche un point sur la surface des 3 sphères en même temps.

Voici le système:




Je vous remercie de votre aide en espérant que vous pourrez m'aider! merci!

[pascal16]

si on appelle L1, L 2 et L3 les 3 lignes de ton système, remplace le par


tu n'as alors plus de termes avec des carrés

[ibreez]

Avec cette méthode je tombe sur des lignes avec 0=0 ou x=x...

[pascal16]

ha oui, il faut garder une des 3 lignes du départ.
si les 3 sphères sont confondues, le résultat est une sphère
si les centres sont alignés et les rayons bien choisis, le résultats peut être un cercle
le résultat peut être deux points ou 1 point
ou encore un ensemble vide.

tu as des infos sur le placement des centres, des rayons etc..

en recherchant les centres, à droite, c'est pas a² à la place de a ?
L1 : (x+1)²+y²+(z-a)²=R²-a+a²
serait une sphère de de rayon R et de centre (-1,0,a)

[ibreez]

Oui, si tu veux, on a une pyramide à base triangulaire dont les point de la base se déplace seulement sur l'axe z (ici Z1=a, Z2=b et Z3=c). Les trois sphères ont pour centre chacune un point de la base. Les sphères se "touchent" en 2 points communs. Il faut donc determiner selon la position de Z1, Z2 et Z3 (soit a, b et c) les coordonnées de l'espace (x,y,z) d'un point B qui est l'intersection des surfaces des 3 sphères

[Ben314]

Salut,
A mon avis (ça vaut ce que ça vaut...) plutôt que de regarder les cas particulier, il me semble plus "sain" de commencer par le cas le plus fréquent : l'intersection de deux sphères, c'est (sauf exceptions) un cercle [ou l'ensemble vide] puis l'intersection d'un cercle et d'une sphère, c'est (sauf exceptions) deux points [ou vide].
Donc ton système, (sauf exceptions), il a zéro ou deux solutions. Et ça, ça signifie quasi surement que (sauf exceptions) tout va se ramener à une équation du second degré à résoudre.
Et effectivement, si tu regarde les équations L2-L1 et L3-L1 (*) ça te donne un système linéaire de 2 équations à 3 inconnues (x,y,z) qui, si on le résous, permet (sauf exceptions) d'exprimer par exemple x et y linéairement en fonction de z. Et y'a plus qu'à réinjecter ça dans la L1 pour obtenir une équation du second degré en z qui va "piloter" le nombre de solutions.

Sinon, ça :

si on appelle L1, L 2 et L3 les 3 lignes de ton système, remplace le par

C'est évidement le truc qu'il ne faut pas écrire : déjà, la 3em ligne du nouveau systèmevu que c'est l'opposé de la somme des deux premières, elle ne sert évidement à rien. Et ensuite, (comme par hasard) partant de ces 3 équation là, tu ne peut retrouver (par combinaison linéaire) ni L1, ni L2, ni L3 donc ce système là n'implique aucune des équation du système de départ.
Bref, avec un système, au fond, tu peut faire "un peu tout et n'importe quoi", mais il faut évidement t'assurer que ce que tu écrit est équivalent au problème de départ (i.e. que les nouvelles équations impliquent les anciennes)

[ibreez]

Bonsoir Ben, merci de ton aide. Mais si possible, j'aimerai bien de l'aide pour la résoudre si tu as la temps bien-sûr. Car j'ai compris assez vite fait ta méthode mais je ne la maîtrise pas et donc forte chance de cumuler des erreurs.

[Ben314]

Je te le fait (d'ici 10 minutes), mais dans ce type de situation (j'ai compris le principe, mais les calculs sont super chiant), trouve toi un logiciel (gratuit) de calcul formel et tu lui dit de faire les calculs à ta place.

[ibreez]

D'accord merci, mais les logiciel de calcul formel peuvent t-il résoudre des systèmes avec des variables x, y, z qui dépendent de valeurs inconnu à la résolution (car nous ne connaissons a,b, c que avant l'execution)?

[Ben314]

Ben oui, c'est justement ça qu'on appelle du "calcul formel".
Et sans chercher la moindre astuce, ça donne ça :

Par contre y'a rien qui se simplifie donc le résultat final est, comme on pouvait s'y attendre, plutôt long...

P.S. Et, bien sûr, les cas particulier qui apparaissent sont ceux où le coeff. en z² de l'équation du second degré en z est nul et bien sûr le cas où le discriminant de cette même équation est nul.

P.S.2 : Et, pour ta culture (et si ça t'intéresse) le plan d'équation L2-L1, ça s'appelle le "plan radical" des deux premières sphères (enfin, je suis pas certain du terme : dans R², ça s'appelle "l'axe radical" des deux cercles)

[ibreez]

Merci beaucoup, c'est très gentil de m'avoir donner de ton temps afin de m'aide à résoudre ce système, je le teste directement. Encore merci!
(ps: quel est ton logiciel de calcul pour que je puisse le télécharger?)

[Ben314]

Là, je suis sur le réseau de la fac. et c'est Maple que j'utilise (payant et très cher....)
Concernant les libres et gratuit, y'a au moins Xcas qui est connu, mais je sais pas si y'a pas mieux à l'heure actuelle.

[ibreez]

D'accord merci, juste une derniere question:
maintenant on a x et y en fonction de z, peut-t'on les exprimer sans le z (juste a, b, c ,R et des coeff)?

Je vais me renseigner pour les logiciels de calculs formels

[ibreez]

Et petite erreur lors de la rédaction du système pour L1, on a L1: x^2-2x (or j'avais marqué +...)

[Ben314]

D'accord merci, juste une derniere question:
maintenant on a x et y en fonction de z, peut-t'on les exprimer sans le z (juste a, b, c ,R et des coeff)?

Bien sûr : à la dernière ligne, tu as les deux solution possible pour z (exprimées uniquement en fonction de a,b,c et R) et il te suffit de les reporter dans x="en fonction de z" pour avoir x en fonction uniquement de a,b,c et R.

Sinon, je sais pas ce que tu veut f... avec les formules, mais même au niveau informatique, tu as plus que fortement intérêt à utiliser des "variables annexes" désignant des résultat de calculs intermédiaires plutôt que de taper le gros charabia de la dernière ligne.

Sinon, le -2x à la place du +2x, ça change évidement les résultat, mais ça reste aussi pourri et là, je vais me pieuter donc je regarderais demain pour éventuellement te refaire une copie d'écran.

Mais l'idéal, ça serait que tu dise ce que tu compte en faire : si c'est pour le rentrer dans une calculette ou un ordi. pour faire du calcul numérique (i.e. avec de vraies valeurs de a,b,c et R), faut pas le rentrer comme ça (très gros risque d'erreur de frappe + truc illisible + perte de temps de l'ordi. au niveau des calculs)

[ibreez]

Je suis sur un projet d'imprimante 3D. Mon problème personnel est de trouver la position de la buse selon la position en Z de chaque des pieds sur les colonnes. Or ces pieds désignent un points mobile sur Z et la tige qui les relient à la buse décrit l'ensemble des points se situant sur la sphère. Donc pour trouver la position de la buse j'ai pensé à l'intersection de 3 sphères.

Et donc afin de l'étudier je dois d'abord exprimer ses coordonnées, ensuite si j'ai le temps créer soit un programme, soit une matrice de passage ou un truc comme ça pour faciliter.

(c'est peut-être compliquer de comprendre par écrit ^^)

[pascal16]

j'ai regardé la vidéo de la machine.
si eux l'ont fait, c'est refaisable

[Ben314]

Sinon, si tu veut que ton truc soit compréhensible (pour un humain) et pas trop chaint à taper (pour un ordi.), tu as 100% intérêt à écrire/taper que :
- Le système formé de L2-L1 et L3-L1 (*) a pour solutions avec (au niveau info. tu calcule bien sûr que les valeur de et )
- Une fois qu'on substitue dans L1, on obtient avec ; et .
- Puis tu continue bien sûr avec du "Si alors . . . sinon on calcule puis on regarde le signe de . . ."

(*) En mettant bien un x²-2x dans L1 comme tu le dit dans ton dernier post.

[Pisigma]

Bonjour,

n'y-a-t-il pas une petite erreur dans les seconds membres des énoncés; (a=> a², b=>b², c=> c²) d'où :

R²-1-a², R²-1-b², R²-1-c²

[Ben314]

Je suis sur un projet d'imprimante 3D (geeetech delta rostock mini g2s). Mon problème personnel est de trouver la position de la buse selon la position en Z de chaque des pieds sur les colonnes.

Je suis allé regarder ce qu'était une "geeetech delta rostock mini g2s" et je comprend pas trop ce que tu bricole avec tes calculs.
Pour moi, le processeur qui va "piloter" la buse, il aura en entrée la liste des points 3-D où la buse doit faire des "prout" et il va falloir qu'il envoie du courant aux électro-aimant des moteur pas à pas des 3 colonnes pour faire tourner les moteurs de façon à amener à la bonne hauteur les chariots recevant les fixations des bras qui tiennent la buse.
Bref, le seul type de calcul à faire est dans le sens (x,y,z) -> (h1,h2,h3) dans le sens coordonnées 3D -> hauteur des 3 chariots.
Dans quel contexte pense tu qu'il te soit utile de connaitre la fonction dans le sens (h1,h2,h3) -> (x,y,z) ?