Resolution d'equation modulaire

[juve1897]

Bonsoir,

je n'arrive pas à résoudre cette équation:



j'ai pensé en premier lieu décomposer cette équation en un système suivant:



Puis en avec les solutions trouvées résoudre un système avec les restes chinois du style



où s1 est la solution de l'équation 1 et s2 la solution de l'équation 2

Mais mon problème c'est qu'en calculant l'équation 1 et 2, je trouve 2 solutions pour chacune,

S1 = { 0,1}
S2 = { -3, -2 }

Comment faire?
Est ce la bonne méthode que j'adopte ?

Merci.

[leon1789]

S1 = { 0,1}
S2 = { -3, -2 }

Comment faire?
Est ce la bonne méthode que j'adopte ?

Merci.

Je n'ai pas vérifié tes solutions, je te fais confiance. :we:

Passer par le chinois, c'est une bonne technique .

Tu sais que 36 n'est pas premier, donc il se peut qu'il y ait 2,3,4,5,... solutions à ton équation (qui est pourtant de degré 2).

Regarde x^2-1 modulo 8, tu verras pas mal de racines, davantage que 2 !

Maintenant pour ton problème, il faut que tu termines comme tu pensais pour chaque cas... il y a 4 couples à remonter modulo 36.

[leon1789]

Puis en avec les solutions trouvées résoudre un système avec les restes
S1 = { 0,1}
S2 = { -3, -2 }

heu, tu es certain de toi ? ok, mais pas 1.

Ok pour S2.

[juve1897]

Ok, supposons que mes calculs soient juste (j'en suis pas sure non plus j'ai regardé vite fait).

Si l'equation 1 a deux solution (0 , 1) je me retrouve avec un debut de systeme qui est le suivant :



est ce qu'il existe un x qui soit congrue 0 et 1 à la fois ??? Je ne pense pas !

Donc c'est la que je coince, comment faut il faire ???

[leon1789]

non, pas deux équations modulo 4.

Tu pars de deux équations mod 4 et 9, il faut tu prennes des solutions mod 4 et 9

[juve1897]

heu, tu es certain de toi ? ok, mais pas 1.

Ok pour S2.

Oui tu as raison, je suis bete j'ai calculé au lieu de

Merci.


IL Y'A -1 QUI DEVIENT SOLUTION PAR CONTRE

[leon1789]

Au fait, juve1897, tu n'es pas un de mes descendants par hasard ?
leon1789

[juve1897]

non, pas deux équations modulo 4.

Tu pars de deux équations mod 4 et 9, il faut tu prennes des solutions mod 4 et 9

Ce ue je n'ai pas compris, c'est comment doit on former le système des restes chinois ???

Doit on prendre toutes les solutions trouvées et résoudre ??? (je ne pense pas)
Sinon comment faire pour choisir l'équation à mettre dans le systeme pour et

[leon1789]

Ce ue je n'ai pas compris, c'est comment doit on former le système des restes chinois ???

Doit on prendre toutes les solutions trouver et résoudre ??? (je ne pense pas)
Sinon comment faire pour choisir l'équation à mettre dans le systeme pour et

ok, alors je reprends.

Soit x vérifiant x²+5x+24=0 mod 36
alors (x²+5x+24=0 mod 4) et (x²+5x+24=0 mod 9)
alors (x = 0 ou -1 mod 4) et (x = -2 ou -3 mod 9)
alors (x=0 mod 4 et x= -2 mod 9) ou ( ...) ou (...) ou (...)
alors (x= ... mod 36) ou ( ...) ou (...) ou (...)

[leon1789]

ok, alors je reprends.

Soit x vérifiant x²+5x+24=0 mod 36
alors (x²+5x+24=0 mod 4) et (x²+5x+24=0 mod 9)
alors (x = 0 ou -1 mod 4) et (x = -2 ou -3 mod 9)
alors (x=0 mod 4 et x= -2 mod 9) ou ( ...) ou (...) ou (...)
alors (x= ... mod 36) ou ( ...) ou (...) ou (...)

En fait, ce sont des équivalences à toutes les lignes...

[juve1897]

ok cool.

Donc , je peux ecrire




en utilisant le theoreme des reste chinois je trouve:



On trouve que
D'où


Mais quad je remplace x par 10 dans l'equation de depart ça marche pas.

EDIT les * represente x (multiplication)

[leon1789]

ok cool.

Donc , je peux ecrire


[/TEX]

la dernière équivalence est fausse car tu sucres la moitié des solutions !

[leon1789]

ok cool.
Mais quad je remplace x par 10 dans l'equation de depart ça marche pas.

normal, 10 n'est pas congru à -2 (ou -3) modulo 9 :marteau: tu t'es trompé dans ton "chinois" final

[juve1897]

la dernière équivalence est fausse car tu sucres la moitié des solutions !

Ben comment dois je faire alors ?
Peux tu m'aider ???

[leon1789]

Ben comment dois je faire alors ?
Peux tu m'aider ???

utilise des "ou" : x= 0 ou -1 mod 4 , x=-3 ou -2 mod 9

[skilveg]

Euh, si je puis me permettre... Il n'est pas très avantageux de se servir du théorème chinois je trouve; en calculant brutalement les valeurs du polynôme dans on doit pouvoir trouver relativement rapidement toutes les solutions...

Pour le coup la solution brutale me semble plus courte que vos tergiversations! :euh:

[juve1897]

normal, 10 n'est pas congru à -2 (ou -3) modulo 9 :marteau: tu t'es trompé dans ton "chinois" final

Ben je vais refaire avec detail alors.




on a donc

x = u * 0 * 9 + v * -2 * 4 + 36k

je cherche v (car u * 0 * 9 = 0 )


on a donc v = 7
car 7 * 4 = 28 et

d'où x = 7 * -8 + 36k x = -56 + 36k

Je vois pas où est l'erreur.
Peux tu m'aider ???

[juve1897]

Euh, si je puis me permettre... Il n'est pas très avantageux de se servir du théorème chinois je trouve; en calculant brutalement les valeurs du polynôme dans on doit pouvoir trouver relativement rapidement toutes les solutions...

Pour le coup la solution brutale me semble plus courte que vos tergiversations! :euh:

Peut etre mais moi je cherche une solution generale que je pourrais appliquer à chaque fois (pas seulement avec mod 36)

[skilveg]

Dans ce cas... Mais sans vouloir jouer les rabat-joie, il ne me semble pas qu'il existe de méthode générale pour trouver des solutions d'équations polynomiales dans , même pour le second degré et pour : il faut disposer d'un algorithme de calcul de racine carrée ce qui n'est pas complètement évident.

Pardon d'avoir interféré, mais je maintiens ce que je répondrais à la question de départ :lol3:

[leon1789]

Pour le coup la solution brutale me semble plus courte que vos tergiversations! :euh:

Exact ! et encore que...

Mais s'entraîner sur le théo chinois n'est pas un mal.
Et puis, je ne fais que suivre la méthode de l'auteur de la discussion.