Résolution équation différentielles

[vvince]

Hello a tous,
j'ai un TP a réaliser et celui-ci inclu la résolution d'une équatioon différentielle qui semble relativement simple. Jusque là, on utilisait les méthodes de Euler, Runge-skutta etc... Seulement cette fois-ci ils demandent d'utiliser une méthode qui m'est totalement inconnue:

Trouver la solution analytique de l'équation différentielles suivante en utilisant la méthode des facteurs d'intégration, et en précisant le point d'équilibre.

L'équation est la suivante:
dx/dt = f(x) = 2 - ax

J'ai pas mal cherché sur google, j'ai trouvé quelques sites parlant de facteur intégrant (et non facteur d'intégration, mon prof n'est pas francais c'est peut être pour ca) mais a chaque fois les explications sont bien trop complexes pour moi (les maths ne st pas ma spécialité).
Quelqu'un pourrait-il me mettre sur la voie, avec un lien ou un début d'explication de cette méthode?

[serge75]

Je pense qu'il veut dire variation de la constante.

[vvince]

Non c'est bien les facteur d'intégration ou facteur intégrants.
http://w3-phystheo.ups-tlse.fr/~robert/licadmin/ul1b/www/1er.00-01/ced/node11.html

[Pythales]

Il n'y a pas besoin de facteur intégrant, puisque est une différentielle totale exacte (du moins, si a est une constante)

[serge75]

En soit, le facteur intégrant intervient pour les équadiffs qui se mettent sous la forme :
a(x,y)+b(x,y)y'=0 (ou y est la fonction inconnue, de la variable x à rechercher).
On écrit symboliquement y'=dy/dx et 'on multiplie par dx', de sorte à écrire symboliquement l'équation sous la forme :
a(x,y)dx+b(x,y)dy=0.
Puis on cherche une fonction F dont la différentielle soit justement a(x,y)dx+b(x,y)dy (ou, en d'autres termes dont les dérivées partielles par rapport à x et y soient respectivement a(x,y) et b(x,y)).
Pour une telle fonction F, la dérivée par rapport à x de F(x,y(x)) où y est une fonction donnée est a(x,y)+b(x,y)y'(x). (le fait de multiplier par dx et de chercher une primitive de la forme différentielle a(x,y)dx+b(x,y)dy n'apparait alors que comme une méthode mnémotechnique).
De là, l'équadiff équivaut à F(x,y(x))=K (K=cste).
On peut achever dans certains cas une résolution explicite en essayant d'extraire y en focntion de x dans l'expression F(x,y)=K ; si cette opération parait trop périlleuse, on se contente de dire que les courbes intégrales (ie les courbes représentatives des solutions) sont incluses dans les lignes de niveau de F.

Reste le problème le plus délicat : existe-il une primitive à la forme différentielle a(x,y)dx+b(x,y)dy (en d'autres termes, cette forme différentielle est-elle exacte?). Pour peu que a et b soient de classe C^1 sur un ouvert U de R^2 étoilé, on sait (Poincaré) que cela équivaut à da/dy=db/dx (lire dérivées partielles). Si tel est le cas, on est content.
Si tel n'est pas le cas, là entre en jeu la théorie des facteurs intégrant.
On dit que pour toute fonction L ne s'annulant pas, l'équation équivaut à L(x,y)(a(x,y)+b(x,y)y')=0.
Posons A(x,y)=a(x,y)L(x,y) et B(x,y)=b(x,y)L(x,y). La forme différentielle associée à cette nouvelle équation est donc A(x,y)dx+B(x,y)dy.
On va alors chercher à déterminer L de sorte que cette nouvelle forme différentielle soit exacte. Cette focntion L s'appelera un facteur intégrant.
La condition pour que L convienne est donc :
(da/dy).L+a.(dL/dy)=(db/dx).L+b.(dL/dx).
La résolution en L de cette EDP nous fournit alors un facteur intégrant.
J'espère ne pas avoir été trop confus.
Cordialement