Résolution d'équation différentielle

[Gaylord]

Bonjour , J'ai un petit soucis de résolution concernant une équation différentielle
(1 + x^2)y' + xy + x^2 = 0

Donc j'ai essayé de la résoudre de la manière suivante :
(1 + x^2)y' + xy = - x^2
Résolution de l'équation homogène
Y= A exp( Intégrale(x/(1+X^2)) avec A une constante

Mais je trouve que la solution est compliqué car il faut faire une double intégration par parties pour trouver la solution de l'équation homogène.

Pourriez vous m'aider à résoudre cette équation ?
MERCI

[chan79]

Bonjour , J'ai un petit soucis de résolution concernant une équation différentielle
(1 + x^2)y' + xy + x^2 = 0

Donc j'ai essayé de la résoudre de la manière suivante :
(1 + x^2)y' + xy = - x^2
Résolution de l'équation homogène
Y= A exp( Intégrale(x/(1+X^2)) avec A une constante

Mais je trouve que la solution est compliqué car il faut faire une double intégration par parties pour trouver la solution de l'équation homogène.

Pourriez vous m'aider à résoudre cette équation ?
MERCI

bonsoir
juste une indication
la dérivée de ln(1+x²) est

[Gaylord]

bonsoir
juste une indication
la dérivée de ln(1+x²) est

Merci pour l'indication je n'avais pas pensé a faire ça , je voulais partir vers l'arctan
Avec cette aide je trouve :
y= A.exp (ln(1+x²)/2)
Ensuite j'ai essayé d'utiliser la méthode de la variation de la constante :
y= A(x).exp ((ln(1+x²))/2)
y'= A'(x).exp ((ln(1+x²))/2) - A(x).x/(1+x²).exp ((ln(1+x²)/2)


A'(x).exp ((ln(1+x²))/2) = -x² / (1+x²)

Suis je sur la bonne voie ? y a t'il une astuce pour finir ?
Merci

[JeanJ]

Déjà, il y a une erreur de signe dans y= A.exp (ln(1+x²)/2), semble-t-il.
Ensuite, ce serait plus simple avec exp(c*ln(X))=X^c

[chan79]

Merci pour l'indication je n'avais pas pensé a faire ça , je voulais partir vers l'arctan
Avec cette aide je trouve :
y= A.exp (ln(1+x²)/2)
Ensuite j'ai essayé d'utiliser la méthode de la variation de la constante :
y= A(x).exp ((ln(1+x²))/2)
y'= A'(x).exp ((ln(1+x²))/2) - A(x).x/(1+x²).exp ((ln(1+x²)/2)


A'(x).exp ((ln(1+x²))/2) = -x² / (1+x²)

Suis je sur la bonne voie ? y a t'il une astuce pour finir ?
Merci

salut
Sauf erreur de ma part, pour l'équation homogène, tu dois arriver à:

[Gaylord]

salut
Sauf erreur de ma part, pour l'équation homogène, tu dois arriver à:

OULALA que d'erreurs de ma part !
Oui effectivement après re-calcul je trouve effectivement pour la solution de l'équation homogène.

Et je trouve : Suis je sur la bonne voie et ya t'il une astuce pour la suite ?
Merci

[chan79]

OULALA que d'erreurs de ma part !
Oui effectivement après re-calcul je trouve effectivement pour la solution de l'équation homogène.

Et je trouve : Suis je sur la bonne voie et ya t'il une astuce pour la suite ?
Merci

tu es sur la bonne voie. Y'a plus qu'à intégrer
Des idées de recherche (à toi de mettre tout ça en ordre :lol3: ):

est la dérivée de
Je te conseille de dériver pour y voir plus clair
Tu as aussi

Bon courage

[Gaylord]

Je crois qu'en plus de revoir le cours sur les équa diff je vais devoir revoir celui sur les intégrales .
Je voulais faire une intégration par parties en prenant
u'= x/(rac(1+x^2)) u=rac(1+x²)
v= -x v'=-1

Pour la dérivé de x.rac(1+x^2) je trouve en remplaçant : 1+2x^2/(rac(1+x^2)) mais je ne vois pas à quoi ça peut me servir

[chan79]

Je crois qu'en plus de revoir le cours sur les équa diff je vais devoir revoir celui sur les intégrales .
Je voulais faire une intégration par parties en prenant
u'= x/(rac(1+x^2)) u=rac(1+x²)
v= -x v'=-1

Pour la dérivé de x.rac(1+x^2) je trouve en remplaçant : 1+2x^2/(rac(1+x^2)) mais je ne vois pas à quoi ça peut me servir

salut
Egalité 1

si on dérive on obtient: ()'= égalité 2
si on nomme F une primitive de


d'après l'égalité 1, F(x) = primitive de - Argsh(x)
on remplace la primitive de (d'après l'égalité 2)

F(x)= - F(x)-Argsh(x)
2F(x)= -Argsh(x)
Finalement, la primitive de est Argsh(x) -
Il te reste à écrire la solution particulière et ajouter la solution générale de l'équation homogène

[Gaylord]

Il m'aura fallut un moment pour résoudre cette équation !!
Merci du coup de main ! A plus tard peut étre