Résolution d'une équation différentielle

par **Pederle** » 02 Juin 2009, 21:09

Bonjour, je dois trouver les solutions développables en série entiére en 0 de (E) puis résoudre (E) sur l'ensemble des réels.

(E) : (1+x²)y"-6y = 0

J'ai utilisé la "méthode habituelle" pour arriver aux équations suivantes :

2*A(2) - 6*A(0) = 0
6*A(3) - 6*A(1) = 0
(p+1)*(p+2)*A(p+2) + p*(p-1)*A(p) - 6*A(p) = 0

Voila je ne sais pas trop comment continuer et calculer le terme général pour A(p). Merci

par **Nightmare** » 02 Juin 2009, 21:30

Salut,

Et bien, tu as A(p+2) en fonction de A(p). Ne vois-tu pas comment avoir A(p) en fonction de A(0) ?

par **Pederle** » 03 Juin 2009, 21:26

Si si mais en fait je recherchais absolument a calculer A(0), mais apparemment on ne peut pas donc je vais laisser ce terme comme celà...

Merci !

par **Pythales** » 04 Juin 2009, 14:46

et

sont arbitraires. La solution de l'équation dépend de 2 constantes arbitraires, comme pour toute equadif du second ordre qui se respecte ...

par **Pederle** » 04 Juin 2009, 19:26

Ok... par contre, j'ai donc réussis a trouver les solutions DSE ....

Mais je ne vois pas du tout comment obtenir l'ensemble des solutions sur R.... Il n'y a pas de solutions évidente...

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 19:35

Salut :happy3:

Eh bien de quel dimension est l'espace solution?

par **Pederle** » 04 Juin 2009, 19:37

Bah avec le théorème de structure ce sera un espace de dimension 2 ! ! ?

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 20:11

D'accord, donc combien de faut-il te fonctions (non colinéaires) de l'espace pour l'engendrer?

par **Pederle** » 04 Juin 2009, 20:17

Deux....

Mais la série entiére peut etre considérée comme une première, et il en faut une seconde non?

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 20:20

Il me semble que tu as déterminer les solutions développables en série entière non? Où se cache l'infinité du nombre de solution dans l'expression de ta série entière?

par **Pederle** » 04 Juin 2009, 20:27

Désolé j'ai un peu de mal...
Mais on a pas trouvé toutes les solutions la si??

Parcequ'on demande dans un premier temps les solutions de (E) DSE en 0.
Et dans une seconde question de résoudre (E) sur R....

La premiére question j'ai clairement réussis a y répondre, mais je ne comprends pas la seconde...

par **Nightmare** » 04 Juin 2009, 20:32

Je recommence.

Tu as trouvé effectivement les solutions développables en série entière qui dépendent du choix arbitraire de A(0) et A(1).
Il te suffit d'en prendre 2 non colinéaires et l'espace qu'elles engendrent est donc l'espace entier des courbes-intégrales de l'équadiff.

par **Pederle** » 04 Juin 2009, 20:36

Mais alors la seconde question n'a aucun sens !

De plus, les termes pairs ne seront jamais considérés étant donné que l'on a aucune information sur les termes A(p) pairs !?

par **JJa** » 04 Juin 2009, 22:17

Bonjour,

bien sûr, on peut chercher les fonctions y(x) solutions de l'EDO :
(1+x²)y"-6y = 0
sous forme de séries infinies, ce qui est suggéré dans l'énoncé de la question.
Mais pourquoi ne pas rechercher explicitement les fonctions ? (les développement en série de ces fonctions seraient bien évidemment les mêmes que les séries infinies dont il était question au début)
De cette façon, on trouve deux solutions linéairement indépendantes :
f(x) = x(1+x²)
g(x) = 2 + 3 x² +3x(1+x²)arctg(x)
Et la solution générale est
y(x) = A f(x) + B g(x)
avec A et B des constantes quelconques.
Et maintenant ,bon amusement à vous pour retrouver ce résultat !

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