Résolution équation différentielle d'ordre 2

[Plantu]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la forme générale de la solution de ces quatres équations.

M.x'' + K.x = Constante

M.x'' - K.x = Constante

M.x'' + K.x = sin (w.t)

M.x'' - K.x = sin (w.t)

Merci de votre aide.

[mathelot]

Bj,

que représentent M et K : des nombres réels ? des matrices à coefficients réels ?

[Plantu]

M et K sont des coefficients constants. Merci.

[Black Jack]

M et K sont des coefficients constants. Merci.

De quel signe ?
Positifs je présume (sinon pourquoi différencier par exemple les 2 premiers cas et les 2 derniers).

Mais il faudrait le dire.

:zen:

[Plantu]

Oui elles sont de signe positif.

[armin]

Salut,


Exemple :

M.x'' + K.x = Constante

Soit x une fonction de la variable t.

Ainsi : M.x'' + K.x = C (a)

On pose : x = C.t²
x' = 2C.t
x'' = 2C

On remplace dans (a)

M.2C + K.C.t² = C
M.2 + K.t² = 1

ou

[Ourfalli]

bonjour Plantu,
pour Mx''+Kx=C
Où M et K sont des réels strictement positifs (non nuls).
On procède ainsi :
1- Solution sans second membre, ESSM:
--------------------------------------
L'équeation caractéristique : dont les racines sont des nombres compelxes conjugués...
Lire ceci.

2-Solution particulière, EASM :
----------------------------
Il est possible de la trouver d'une manière évidente, mais aussi à travers la proposition suivante :
L'équation est de deuxième ordre à coefficients réels, le côté droit (second membre) de cette équation est une constante, c'est-à-dire un polynôme de degré n=0.
si K n'est pas nul, la solution particulière est un polynôme de même degré c'est-à-dire une fonction constante x(t)=une constante.
Si K est nul, c'est une autre histoire! La solution particulière est un polynôme de deuxième degré.

3-La solution générale:
----------------------

[Black Jack]

J'en fait un:

M.x'' + K.x = C

Avec M et K des constantes strictement positives

Solution de l'équation avec second membre = 0 :
M.x'' + K.x = 0

p²M + K = 0
p² = -K/M
p = +/- i.V(K/M)

x = A.cos(V(K/M)t) + B.sin(V(V/M)t)
(Ou aurait pu aussi écrire par exemple x = A.cos(V(K/M)t + Phi)

Solution particulière de l'équation avec secon membre normal:
x = C/K

Solutions générales de M.x'' + K.x = C :
x = C/K + A.cos(V(K/M)t) + B.sin(V(V/M)t)

A et B sont à déterminer par les conditions initiales éventuelles.
@@@@@@@@

Propose tes solutions pour les autres.

:zen:

[Ourfalli]

Et voilà le bon travail!