Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

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hdci
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Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

par hdci » 23 Juil 2020, 01:11

Bonjour,
Je bute sur un point (de détail ?) dans la démonstration du théorème de représentation de Riesz : dans un espace topologique séparé localement compact, étant donné une forme linéaire positive de l'espace des fonctions continues à support compact, il existe une tribu et une mesure (unique) telle que la forme linéaire est l'intégrale selon cette mesure.
Je travaille sur le Rudin "analyse réelle et complexe" ; dans la construction de ladite mesure, on définit la mesure d'un ouvert comme étant la borne supérieure de l'image de toute fonction continue à valeur dans et à support compact inclus dans l'ouvert, puis la mesure de tout autre ensemble comme étant la borne inférieure des mesures des ouverts contenant l'ensemble (en vérifiant que cela marche aussi pour les ouverts).
Là où je bute c'est ici : si on considère que l'espace est muni de la topologie usuelle, que la forme linéaire est l'intégrale usuelle, alors la mesure de tout singleton (qui est un compact) est nulle. Il s'en suit que par sigma-additivité, la mesure de l'ensemble des rationnels de est également nulle (ce qui est somme toute bien rassurant). MAIS, les ouverts contenant cet ensemble contiennent nécessairement l'intervalle fermé donc d'après la définition donnée, la borne inférieure des mesures de ces ouverts est égale à 1...
Où ai-je raté quelque chose ?
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Re: Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

par hdci » 23 Juil 2020, 01:32

Pour plus de précision, voici l'énoncé du théorème dans Rudin :
Soit un espace séparé localement compact et soit une forme linéaire positive sur (ndr : l'espace des fonctions continues à support compact sur X).
Il existe une -algèbre sur X contenant tous les boréliens de X et une mesure sur qui représente en ce sens que

a) pour toute fonction

En outre cette mesure possède les propriétés suivantes :

b) pour tout compact

c) pour tout on a : sont des ouverts

d) pour tout ouvert tel que on a : sont des compacts

e) Si et , pour tout on a
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Re: Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

par hdci » 23 Juil 2020, 01:36

Et pour rebondir sur mon message initial, la propriété c) : dans le cas "standard" de la droite réelle (qui est séparée et localement compact pour la topologie usuelle), les singletons sont des boréliens, par stabilité par réunion dénombrable l'ensemble des rationnels d'un intervalle est forcément dans la tribu ; pour la forme linéaire "intégrale classique", la mesure d'un singleton est forcément nulle, mais l'ensemble ne colle pas avec le point c)...
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Ben314
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Re: Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

par Ben314 » 24 Juil 2020, 04:10

Salut,
L'erreur elle est là :
hdci a écrit:. . .la mesure de l'ensemble des rationnels de est également nulle (ce qui est somme toute bien rassurant). MAIS, les ouverts contenant cet ensemble contiennent nécessairement l'intervalle fermé . . .

Un ouvert contenant les rationnels de [0,1] n'a aucune raison de contenir [0,1] lui même (*) : si on numérote les rationnels de cet intervalle (ce qui est possible vu qu'ils sont dénombrable) et qu'on considère un petit réel puis l'ensemble alors il est clair que est un ouvert contenant tout les rationnels de [0,1] mais il est tout aussi clair que ne contient pas [0,1] tout entier vu que sa mesure c'est .

Normalement, cet construction plus que classique, tu aurais du la voir au moment où on t'a construit la tribu des Borélien sur R (et la mesure de Lebesgue) via la notion de "mesure extèrieure" (en général notée ).

(*) Ce qui est vrai, c'est qu'un fermé contenant les rationnels de [0,1] est forcé de contenir [0,1] lui même.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: Repréentation de Riesz (forme linéaire et mesure)

par hdci » 24 Juil 2020, 19:30

Merci Ben pour ta réponse, c'est clair et j'aurai pu y penser (d'autant que la technique du est somme toute classique... j'étais resté bloqué sur la densité des rationnels et des irrationnels

Ben314 a écrit:Normalement, cet construction plus que classique, tu aurais du la voir au moment où on t'a construit la tribu des Borélien sur R (et la mesure de Lebesgue) via la notion de "mesure extèrieure" (en général notée ).


Ben en fait non, mes études remontent à 1984/1987 et c'est un pan des maths que je n'ai pas vu (ou que j'ai oublié depuis, mais il ne me semble pas qu'en maths spé M' on traitait de la théorie des mesures) ; et même si j'ai passé l'agrég récemment, je n'ai pas tout "redéroulé" et je profite d'un peu de temps libre pour approfondir ce que je trouve de passionnant...

Ben314 a écrit:vu que sa mesure c'est .


Ne serait-ce pas plutôt "inférieure à " ? Les intervalles en question ne sont pas disjoints pour cause de densité ?
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