Théorème de représentation de Riesz

[Ncdk]

Bonsoir,

Je comprends pas vraiment ce théorème, du moins l'intituler est complètement flou.

Toute forme linéaire continue sur est représentable par un produit scalaire. Si (= Dual topologique de H), linéaire continue alors il existe un unique tel que ,

Je crois c'est parce-qu'il y a vraiment trop d'information, déjà pour commencer, qu'est-ce que c'est le dual topologique de H ?

En gros si on a une application linéaire et continue sur H (*) alors le théorème nous dit qu'il existe un unique tel que , (**)

(*) i.e qui vérifie les deux axiomes de ce qu'est une application linéaire, et que : Est-ce que la linéarité et la continuité sur un espace de Hilbert c'est pareil que dans ?
(**) Quel est l'utilité de ce théorème ? Dans mon cours, ce qui suit c'est la définition de ce qu'on appelle l'adjoint d'une forme linéaire continue, cette définition repose sur ce théorème du coup ?

Merci de votre aide

[capitaine nuggets]

Salut !

Le dual topologique de H c'est l'ensemble des formes linéaires continues sur H.
Ce théorème te dit que toute forme linéaire continue sur H peut s'écrire comme produit scalaire par rapport à un certain vecteur.

[Ben314]

Salut,
Attention aussi (voire surtout) à ne pas oublier les hypothèse indispensables : tout ce dont tu parle a du sens dans le cadre de n'importe quel e.v H muni d'une forme bilinéaire symétrique (sur R) ou hermitienne (sur C) alors que le résultat que tu donne n'est absolument pas valable dans ce cadre là.
Il faut que la forme soit définie positive, et surtout que muni de la norme associée à cette forme, l'espace soit complet pour que le résultat soit valable.

Bref, comme d'hab., faire attention à ne pas "manger" la moité des hypothèses nécessaires à la véracité du résultat !

Sinon, au niveau de "ce que ça dit", ben c'est con comme la lune : tu sait que les formes linéaires de R²->R sont très exactement les application de la forme (x,y)->ax+by, c'est à dire en fait X-><X|(a,b)> pour le produit scalaire usuel (idem sur R^n avec n quelconque) et le résultat en question, ben il te dit que, modulo de rajouter les "hypothèses qui vont bien" (*), ça marche pareil en dimension infinie.

(*) Que l'espace soit complet (ce qui est toujours le cas en dimension finie) et que la forme linéaire soit continue (ce qui est aussi toujours le cas en dimension finie).

[Ncdk]

Merci de votre aide, c'est un peu mieux, les exercices ne vont pas tarder à arriver sur ce sujet, espérons que ça m'aide bien

Ben, mon prof n'a pas définit qui était H mais au vu de ce que tu me dis il faut que H soit un espace de Hilbert, en fait pré-hilbertien ne suffit pas car il va manquer la complétude, mais je voulais savoir en quoi rajouter la complétude ça permet de rendre valable tout ce qui a été dit.

Remarque je sais pas vraiment si je suis en mesure de comprendre ta réponse à ce sujet, parce-qu'en topologie j'ai pas vraiment compris la complétude et les espaces pré-hilbertiens j'ai jamais travaillé dessus, c'était une partie de cours en fin de semestre qui nous a été donné histoire de dire "Vous l'avez vu" mais jamais fait un exercice dessus et bien en commençant le cours sur les espaces de Hilbert on nous a bien dit "Inutile de revenir dessus étant donné que c'est censé être su "

[Ben314]

Je sais pas si c'est forcément indispensable de faire des tas d'exercices concernant les suites de Cauchy. (*)
Tout dépend de la formation que tu suis et de ce que tu ferra ensuite.
En fait, c'est indispensable au niveau du cours pour démontrer pas mal de théorème archi. utiles et il faut que tu sache (mais ça peut éventuellement n'être vu qu'en cours) que tel ou tel espace dans lequel tu va travailler en T.D. est effectivement complet et que par contre tel autre ne l'est pas histoire évidement de savoir si tel ou tel théorème s'applique ou... ne s'applique pas.

Sinon, concernant le "en quoi la complétude est-elle utile", on peut donner quelques réponses sans trop rentrer dans le "technique" :
- Pour rester dans le "pas très précis", mais facile à comprendre, il y a des tas de propriétés qui sont vraies dans tout les e.v.n. de dimension finie (ou dans tout les espaces Euclidiens qui sont par définition de dim. finie) et qui ne sont plus valable en dimension infinie et ça fait c... vu que c'est des résultats super utile.
Donc on cherche souvent le "au fond pourquoi ça marche en dimension finie ?" histoire de pouvoir dire que, dans certains types d'espaces de dimension infinies, le truc continue à marcher.
Et il s'avère que le fait d'être Complet, c'est un truc qui fait permet de démontrer pas mal de résultat, donc que les espaces de dimension infini qui sont complet vont avoir "pas mal de point communs" avec les espaces de dim. finie et donc qu'on pourra tenir dessus pas mal de raisonnement comme si on était en dimension finie (mais pas tous évidement).
- Pour être légèrement plus précis, la complétude, au fond, ça te garantie qu'une suite qui a "toute les apparences" d'une suite convergente, ben elle est effectivement convergente et c'est archi super utile sur le plan théorique vu que, dans un espace complet pour montrer qu'une suite est C.V. il suffit de montrer qu'elle est de Cauchy et que, pour montrer qu'elle est de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'en connaitre la limite. Pour te donner une analogie, ça a la même "puissance" (c'est à dire la même énorme utilité) que le théorème pour les suites réelle le théorème qui te dit que toute suite croissante est majorée admet une limite : tu t'en sert à chaque fois que tu veut montrer qu'un truc converge alors que tu sait pas vers quoi ça converge. Sauf que le coup des suites croissantes et majorées, ça a beau être archi. puissant, ben ça marche que dans R vu que rien que dans C, y'a pas de relation d'ordre "bien propre" (pas plus que dans R² ou R^3).

(*) Surtout que, pour l'avoir fait de nombreuses fois (et je continue à le faire), les T.D. sur les suite de Cauchy, ça passe souvent pas très bien vu que c'est pas mal difficile de mettre des exos de difficulté "moyenne" : soit tu met des truc pas trop compliqué et souvent c'est trés con vu qu'il y avait d'autres moyens (avec des outils plutôt plus simples à manipuler comme la compacité) de montrer que la suite est convergente, soit tu met des exo. où la complétude est réellement utile et tout de suite, ça te fait du "pas mal plus compliqué".
Bref, la complétude, à mon sens, ça sert principalement à démontrer des "gros théorèmes" qu'on utilise ensuite et c'est pas un truc qu'on applique comme ça au détours d'un petit exercice...
(ce qui fait qu'en fait je comprend assez bien la position de ton prof...)

[Ncdk]

En fait, c'est indispensable au niveau du cours pour démontrer pas mal de théorème archi. utiles et il faut que tu sache (mais ça peut éventuellement n'être vu qu'en cours) que tel ou tel espace dans lequel tu va travailler en T.D. est effectivement complet et que par contre tel autre ne l'est pas histoire évidement de savoir si tel ou tel théorème s'applique ou... ne s'applique pas.

Effectivement, mais il est vrai quand dans notre cours c'est souvent tel théorème c'est quand on prend H comme un espace de Hilbert et parfois c'est juste des espaces pré-hilbertiens. Mais c'est comme tout, ça s'apprend, mais suivant les exercices tu sais après ce que tu as comme outils à disposition.

Merci pour l'explication en tout cas

(ce qui fait qu'en fait je comprend assez bien la position de ton prof...)

Après bien entendu il est aucunement responsable de ce que les profs nous ont enseigné auparavant, mais c'est vrai que c'est dommage. Mais j'ai pas l'impression que ça a une importance capitale de pas comprendre ça, puisque dans les exercices c'est souvent qu'on se place dans tel ou tel espace, pas besoin de vérifier si c'est un espace pré-hilbertien ou un espace de Hilbert, c'est supposé quoi.