Répartition des nombres premiers

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abc
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Répartition des nombres premiers

par abc » 20 Avr 2022, 00:48

Comment puis-je faire connaître la conjecture ci-dessous qui améliore celles de Legendre et Opperman selon moi?
Conjecture: Soit N, n et k des entiers plus grands que 1. Alors pour tout N il existe un plafond k tel que pour n>=N, si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+k) en n+k tranches de longueur n, on trouve toujours au moins un nombre premier dans chacune des n+k premières tranches au minimum.

Il s’ensuit que π(n*(n+k)) > π(n*(n+k-1)) > π(n*(n+k-2)) > π(n*(n+k-3)) > … > π(2n) > π(n) où π(n) est la quantité de nombres premiers plus petits ou égal à n.
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Pour illustrer cette conjecture prenons N=2 dont le plafond k associé est le nombre 2 (voir le ci-dessous). Alors pour tout n>=N on a n+2 tranches de longueur n qui contiennent chacune au moins un nombre premier. Ainsi pour n=2 on a au moins 2+2=4 tranches de longueur 2 contenant chacune au moins un nombre premier.

Maintenant regardons le cas N=37 qui a comme plafond k le nombre 387. Alors pour tout n>=N on a n+387 tranches de longueur n. Si on prend n=40 ça implique que l’on a au moins 40+387=427 tranches de longueur 40, chacune contenant au moins un nombre premier.

Opperman en 1882 poussait un peu plus loin la conjecture de Legendre voulant qu’il y ait au moins un nombre premier entre 2 carrés parfaits. En effet, il énonçait que π(n^2+n) > π(n^2) > π(n^2-n) pour n>1, ce qui revient à dire qu’il y a au moins un nombre premier dans l’intervalle n^2-n à n^2 et un deuxième dans l’intervalle n^2 à n^2+n. Avec la présente conjecture on passe de 2 à n+k intervalles, au minimum, de longueur n contenant chacun au moins un nombre premier.

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Tableau des premières valeurs pour le plafond k en fonction de la valeur N.
N k
2 2
3 2
4 2
5 4
6 4
7 4
8 4
9 4
10 10
11 18
12 20
13 20
14 20
15 20
16 35
17 35
18 35
19 35
20 35
21 35
22 35
23 35
24 147
25 147
26 152
27 152
28 263
29 263
30 330
31 335
32 335
33 387
34 387
35 387
36 387
37 387



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