Relation d'ordre sur C

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mehdi-128
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Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 02:32

Bonsoir,

Soit une relation d'ordre définie par :


( )ou ( et )

Je comprends pas le raisonnement suivant :

est faux car tout nombre complexe est positif pour cette relation d'ordre.
Modifié en dernier par mehdi-128 le 16 Juil 2018, 16:44, modifié 3 fois.



hdci
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Re: Relation d'ordre sur C

par hdci » 16 Juil 2018, 05:46

mehdi-128 a écrit:Je comprends pas le raisonnement suivant :

est faux car tout nombre complexe est positif pour cette relation d'ordre.
mehdi-128 a écrit:


Donc , et tout nombre complexe est positif...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

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raito123
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Re: Relation d'ordre sur C

par raito123 » 16 Juil 2018, 07:00

mehdi-128 a écrit:Bonsoir,

Soit une relation d'ordre définie par :


( )ou ( et )

Je comprends pas le raisonnement suivant :

est faux car tout nombre complexe est positif pour cette relation d'ordre.

Salut,
Tu veux démontrer quoi déjà ? tu veux bien preciser le contexte.

Sinon, pour tout complexe z, non nul tu as toujours: 0 < |z| et donc d'après la definition de ta relation d'ordre: 0<z et donc 2<0 est faut
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 12:36

Je comprends pas comment vous obtenez : " |z| >0 donc d'après la définition de ta relation d'ordre: 0<z"

Soit une relation d'ordre définie par :

( )ou ( et )

Je comprends pas cette relation d'ordre. Pourquoi y a le c'est quoi le rapport avec la deuxième ligne ?

Le contexte :
On peut vérifier que la relation binaire en est une.
Avec une telle relation d'ordre, tout nombre complexe est positif.
Pas compris pourquoi

On a par exemple puisque

Cette relation ne prolonge pas l'ordre usuel de puisque

Cette relation n'est pas compatible avec l'addition puisque si on ajoute 1 à chaque membre de l'inégalité on a : ce qui est faux puisque tout nombre complexe est positif pour cette relation d'ordre.
Modifié en dernier par mehdi-128 le 16 Juil 2018, 12:48, modifié 1 fois.

mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 12:39

hdci a écrit:
mehdi-128 a écrit:Je comprends pas le raisonnement suivant :

est faux car tout nombre complexe est positif pour cette relation d'ordre.
mehdi-128 a écrit:


Donc , et tout nombre complexe est positif...


Mais elle est bizarre cette relation d'ordre d'habitude c'est juste une équivalence pourquoi là elle est définie en 2 lignes et c'est quoi le lien entre les 2 lignes ? C'est la même relation d'ordre ?

Soit une relation d'ordre définie par :

( )ou ( et )

pascal16
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Re: Relation d'ordre sur C

par pascal16 » 16 Juil 2018, 12:51

non, c'est pas la méme relation d'ordre

celle avec la forme arrondie ⪯, c'est une relation d'ordre sur C (il faut démontrer qu'elle est bien, réflexive, antisymétrique et transitive).

la classique avec des traits droits ≤, c'est la relation d'ordre sur R habituelle


-> attention 1≤2 dans R et 1⪯2 dans C avec cette relation n'est pas la même chose.
-> une relation d'ordre n'est pas forcément totale
-> attention aux notation "≤ et <", même si on note "<" dans un bouquin, surtout les vieux, une relation d'ordre n'est pas au sens stricte quand on la définie.

mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 13:09

Mon livre est de 2016 donc ça va.

Pourquoi a-t-on :

hdci
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Re: Relation d'ordre sur C

par hdci » 16 Juil 2018, 13:40

pascal16 a écrit:non, c'est pas la méme relation d'ordre

mehdi-128 a écrit:Mais elle est bizarre cette relation d'ordre d'habitude c'est juste une équivalence pourquoi là elle est définie en 2 lignes et c'est quoi le lien entre les 2 lignes ? C'est la même relation d'ordre ?


Je crois que la question de Mehdi est "pourquoi la relation d'ordre est-elle définie sur 2 lignes : est-ce deux relations différentes ou est-ce une seule ?"

A cette question, la réponse est : c'est une seule relation, qui est définie en deux lignes par disjonction : si les deux complexes sont non nuls, on applique la seconde ligne, sinon c'est la première.

Géométriquement, cela se représente ainsi : on prend des cercles concentriques centrés en 0 ; les complexes qui sont sur un cercle plus petit qu'un autre cercle (de rayon inférieur) sont tous inférieurs aux complexes du second cercle.
Deux nombres complexes situés sur le même cercle sont ordonnés selon l'angle qu'ils font par rapport à la demi-droite des réels positifs.

Pour 0, on peut considérer que c'est un cercle de rayon nul et la définition géométrique précédente fonctionne, mais formellement 0 n'a pas d'argument, d'où la définition en deux lignes.

On peut également définir cette relation d'ordre en une seule ligne :

OU OU ET

Il manque une définition dans le texte : quelles sont les valeurs prises par : il faut comprendre que c'est la mesure principale, donc un intervalle semi-ouvert de largeur , mais cela pourrait être ou (au lycée, on dit que la mesure principale d'un angle est dans )
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mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 15:05

Merci pour ces précisions ;)

L'énoncé définit l'argument principal d'un nombre complexe sur

Pourriez vous m'expliquer pourquoi tout nombre est positif pour cette relation d'ordre ?

mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 16:24

J'ai fait un erreur de frappe je corrige la première ligne de la relation binaire :


( )ou ( et )

Dans le premier cas : z est bien positif.

Maintenant si on est dans le cas 2 : comment montrer que z est positif ?

hdci
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Re: Relation d'ordre sur C

par hdci » 16 Juil 2018, 16:27

mehdi-128 a écrit:Pourriez vous m'expliquer pourquoi tout nombre est positif pour cette relation d'ordre ?


Parce que c'est la définition donnée dans la première ligne :

Ce qui dit bien que tout nombre complexe est supérieur à 0

Il faut bien voir que la relation (et son opposée ) définie ici n'a absolument rien à voir avec la relation d'ordre usuelle des nombres réels, même si le texte utilise le même symbole.

Il vaut mieux, si on n'est pas habitué à cette gymnastique mentale, utiliser un autre symbole comme l'a fait pascal16 : utiliser et ou , cela évite la confusion (après quand on a l'habitude d'une telle gymnastique, on peut utiliser les mêmes symboles tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté. Par exemple, on utilise le même symbole d'addition pour les nombres et les vecteurs, alors que ce sont deux opération qui n'ont "rien à voir" et d'ailleurs un nombre plus un vecteur n'a pas de sens).
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

mehdi-128
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Re: Relation d'ordre sur C

par mehdi-128 » 16 Juil 2018, 16:49

D'accord je crois que je viens de comprendre.

Si on veut comparer un nombre avec 0 on utilise la première ligne du coup on aura toujours :
Si on veut comparer 2 nombres non nuls, donc on veut plus comparer avec 0, on utilise la deuxième ligne.

Dans tous les cas on aura bien :

hdci
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Re: Relation d'ordre sur C

par hdci » 16 Juil 2018, 16:50

Exactement !
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

LB2
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Re: Relation d'ordre sur C

par LB2 » 16 Juil 2018, 19:46

mehdi-128 a écrit:D'accord je crois que je viens de comprendre.

Si on veut comparer un nombre avec 0 on utilise la première ligne du coup on aura toujours :
Si on veut comparer 2 nombres non nuls, donc on veut plus comparer avec 0, on utilise la deuxième ligne.

Dans tous les cas on aura bien :


J'ajoute que pour , écrire que ce n'est pas dire que est positif. C'est juste dire que 0 est plus petit que au sens de la relation d'ordre définie plus haut.

Un exercice est de montrer qu'on ne peut pas prolonger l'ordre usuel de à (raisonner par l'absurde et montrer qu'on aurait, par exemple, l'unité imaginaire et )

Elias
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Re: Relation d'ordre sur C

par Elias » 17 Juil 2018, 12:59

LB2 a écrit:Un exercice est de montrer qu'on ne peut pas prolonger l'ordre usuel de à (raisonner par l'absurde et montrer qu'on aurait, par exemple, l'unité imaginaire et )


Ça me paraît bizarre comme énoncé.
Tu veux dire par là qu'il n'existe aucune relation d'ordre sur vérifiant :

?

(où est la relation d'ordre usuelle sur )
Que penses-tu de la relation définie sur par :


aussi appelée ordre lexicographique.

(où désigne la partie réelle et la partie imaginaire).


Je pense plutôt que dans ton énoncé, il faut rajouter qu'il n'existe pas de relation d'ordre (totale) sur prolongeant celle sur et qui soit compatible avec la structure d'anneau de
(c'est à dire vérifiant les propriétés pour z,z',k complexes etc, même chose pour le produit
Car ceci n'est pas automatiquement verifié pour une quelconque relation d'ordre sur des anneaux !
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

LB2
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Re: Relation d'ordre sur C

par LB2 » 18 Juil 2018, 13:54

Oui effectivement, l'énoncé n'était pas complet, et tu as tout à fait raison, "prolonger l'ordre usuel à C" en étant compatible avec la structure d'anneau de C. Merci

 

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