[MPSI] Relation d'ordre

[Euler07]

Salut,

Soit (E,<) un ensemble ordonné tel que pour toute partie non vide, admet un plus petit et un plus grand élément. Montre que E est fini.

Quand on prend E = R et [0,1] comme intervalle, on a bien Max E = 1 et Min E = 0, et E est infini pourtant ?

:livre:

[Doraki]

Salut,

Soit (E,<) un ensemble ordonné tel que pour toute partie non vide, admet un plus petit et un plus grand élément. Montre que E est fini.

Quand on prend E = R et [0,1] comme intervalle, on a bien Max E = 1 et Min E = 0, et E est infini pourtant ?

:livre:

Tu as confondu "pour toute partie" avec "il existe une partie".

E = R ne vérifie pas les hypothèses de l'énoncé parceque par exemple R est une partie non vide de R qui n'admet pas de plus petit élément (ni de plus grand élément)

[Euler07]

Tu as confondu "pour toute partie" avec "il existe une partie".

E = R ne vérifie pas les hypothèses de l'énoncé parceque par exemple R est une partie non vide de R qui n'admet pas de plus petit élément (ni de plus grand élément)

Ah ok, as tu un exemple à donner s'il te plaît

:livre:

[Doraki]

un exemple de quoi ?

[Euler07]

un exemple de quoi ?

Moi j'avais pris E = R mais ça ne marche pas comme tu as dit si on prend R comme partie. Ah non c'est bon, suffit de prendre N

:livre:

[Doraki]

quoi, il vérifie quoi N ?

[Euler07]

Ah non quand j'y pense N n'a pas de maximum.

:livre:

[Euler07]

Ah non quand j'y pense N n'a pas de maximum.

:livre:

Peut on me donner un exemple d'un ensemble qui satisfait les hypothèse de l'énoncé ? Je comprends pas pourquoi l'intervalle E = [0,1] qui admet bien un max et un min ne marche pas

:livre:

[Manny06]

Peut on me donner un exemple d'un ensemble qui satisfait les hypothèse de l'énoncé ? Je comprends pas pourquoi l'intervalle E = [0,1] qui admet bien un max et un min ne marche pas

:livre:

tu peux déjà dire que E a un plus petit élément et un plus grand élément

[Euler07]

tu peux déjà dire que E a un plus petit élément et un plus grand élément

Oui mais il n est pas fini

:livre:

[Manny06]

Oui mais il n est pas fini

:livre:

Non mais tu peux dire qu'il a un ppe p et un pge g
ensuite tu recommences avec E1 = E-{p,g}
soit E1=Ø et E={p,g} est fini
soit E1#Ø et il a un ppe p1 et un pge g1
et on recommence
malheureusement je ne vois pas comment démontrer que l'opération s'arrête.......

[Euler07]

Merci, alors ça doit être des ensembles qui ne s'explicite pas facilement parce que [0,1] admet un max et un min, on peut le munir d'une relation d'ordre et normalement il doit donc être fini ce qui n'es pas le cas :cry: . On est obligé de faire ta procédure

:livre:

[sphinx67]

Tu peux utiliser les notions d'ouverts et de fermés
Tu as que pour tout U dans E, U est fermé, et donc sur R un segment du type E=[0,1] ne convient pas car par exemple ]0,1[ est dans E mais n'a ni plus petit ni plus grand élément.

[Euler07]

Merci, maintenant je sais pourquoi mon exemple ne marche pas :) Tu as un exemple qui satisfait les hypothèses de l'énoncé ?

:livre:

[Judoboy]

Merci, maintenant je sais pourquoi mon exemple ne marche pas Tu as un exemple qui satisfait les hypothèses de l'énoncé ?

:livre:

Bah n'importe quel ensemble fini totalement ordonné...

[Doraki]

euler07, l'énoncé ne dit pas "toute partie ordonnée qui admet un plus petit élément et un plus grand élément est finie".

[chan79]

Bah n'importe quel ensemble fini totalement ordonné...

salut
une idée de recherche
Tu prends E tout entier
il a une valeur minimale a1 et une valeur maximale b1
Tu prends E-{a1,b1}
il a une valeur minimale a2 et une valeur maximale b2

Tu prends E-{a1,b1,a2,b2}
il a une valeur minimale a3 et une valeur maximale b3
étudie deux cas
il existe i tel que ai=bi
il n'existe pas de tel i
on a alors deux suites suites convergentes vers m1 et m2
on peut considérer [a1m1[

[Judoboy]

Bon j'ai un truc mais c'est moche, très long et je suis pas du tout sûr de moi (à mon avis ça se fait en 3 lignes mais je suis nul en théorie des ensembles) :

Notons p le plus petit élément de E et g son plus grand élément.

On a un ensemble totalement ordonné (immédiat) ; tout élément sauf p a un prédécesseur ; tout élément sauf g a un successeur (considérer l'ensemble X = {y, y< x} ; X a un plus grand élément, qui est le prédécesseur de x).

On prend un élément quelconque x0 de E, on note x1 son successeur, x2 le successeur de son successeur, x-1 son prédécesseur, etc. Si pour un n0 donné x(n0) n'a pas de successeur alors x(n0)=g, et alors pour n>n0 on pose xn=x0. (on procède de même pour les prédécesseurs).

L'ensemble X = {xn, n appartient à N} doit avoir un plus grand élément et un plus petit élément, donc p et g appartiennent à X (sinon, en notant y son plus grand élément, y+ appartient à X et y+>y).


L'ensemble X est fini (si g = xm et p=x(-m') X aura m+m'+1 éléments). On peut même noter comme au-dessus x0=g(-m)=p(m').

De plus E est inclus dans X : soit y0 appartenant à E ; en construisant l'ensemble Y comme au-dessus il existe k appartenant à N tel que par exemple y0=g(-k) ; alors y0=x0(-k+m) et y0 appartient à X.

(en gros je monte la chaîne de x0 jusqu'à g et je la redescends jusqu'à y0, il doit y avoir beaucoup plus simple mais j'ai trouvé que ça)


Bref c'est moche et je pense que mon ensemble X tient pas la route, vos avis ?


Comment on met des spoilers ?

[Manny06]

salut
une idée de recherche
Tu prends E tout entier
il a une valeur minimale a1 et une valeur maximale b1
Tu prends E-{a1,b1}
il a une valeur minimale a2 et une valeur maximale b2

Tu prends E-{a1,b1,a2,b2}
il a une valeur minimale a3 et une valeur maximale b3
étudie deux cas
il existe i tel que ai=bi
il n'existe pas de tel i
on a alors deux suites suites convergentes vers un m
[a,m[ ???

c'est ce que j'avais proposé

[Judoboy]

Comment vous définissez une suite convergente sans topologie sous-jacente ? On a juste affaire à des ensembles là...