Relation fonctionnelle et continuité

[math71]

Bonjour,
Voici le début de mon énoncé:
On appelle H l'ensemble des applications h de R dans R satisfaisant les 2 conditions suivantes:
(1) pour tout (x,y) de , h(x+y) + h(x-y) = 2[h(x) + h(y)]
(2) il existe >0, il existe A>0 tel que pour tout x de [-; ], |h(x)|A
Le but de la question est de montrer que les fonctions h de H sont continues sur R.
Voici la première question:
1) Démontrer que pour tout >0, h est bornée sur [-;].
Je mettrai les autres questions au fur et à mesure (j'ai réussi à en faire la plupart, mais je bloque sur cette première)
La propriété (2) de h prouve que h est bornée sur [-;], donc si <, c'est bon, il n'y a rien à faire. Je prends donc >, puis je me donne un x de [-;]
J'ai essayé d'écrire la relation fonctionnelle (1) avec x et , je ne vois pas quoi en tirer puisque x+ sort de l'intervalle...
puis j'ai essayé avec la demi-somme et la demi-différence de x et de , cela donne
h(x) + h()=2[ h((x+)/2) + h((x-)/2)]
mais là encore je ne vois pas comment exploiter l'hypothèse.
Merci de me donner une indication pour savoir comment commencer mon raisonnement.

[Ben314]

Salut,
Quand tu as une relation fonctionnelle, le premier truc à faire, c'est de regarder quelques cas particulier "bien choisis" pour commencer à faire des déduction simples concernant la fonction :
- Si on prend x=y=0, la relation (1) donne h(0)=0.
- Ensuite, si on prend y=x, la relation (1) donne h(2x)=4.h(x)pour tout réel x.
Ce qui signifie que la connaissance d'une telle fonction h sur un tout petit intervalle autour de 0 permet d'en déduire sa valeur sur puis sur etc. . . et donc en fait d'en déduire la valeur de h sur R tout entier.

[math71]

Bonjour,
Merci! Je suis vraiment bête car je m'en suis servi dans un autre exercice, mais là, je n'y avais pas pensé...
Je note q la partie entière de /. Je démontre par récurrence que pour tout x et tout entier n, on a : h(n.x)=.h(x), donc si x appartient à [-;], x/q appartient à [-;], donc
|h(x/q)|<A, or h(x)= h(q.x/q)=.h(x/q)
donc |h(x)|<A., majorant indépendant de x dans [-;], ce qui prouve que h est majorée sur cet intervalle.

2) Démontrer que pour tout a de R, il existe M>0 tel que pour tout x de [-1;1]u[a-1;a+1], |h(x)|<M.
J'ai posé =sup{1,|a+1|,|a-1|}. D'après la question précédente h est majorée sur [-;], donc il existe M>0 tel que pour tout x de [-;], |h(x)|<M
or si x appartient à [-1;1]u[a-1;a+1], il appartient bien à [-;], d'où le résultat voulu.

3) Soit a un réel et M>0 tel que pour tout x de [-1;1]u[a-1;a+1], |h(x)|<M.
démontrer que pour tout u de [-1;1] et tout entier naturel n, on a :
|h()-h(a)|<().M/
J'ai commencé une récurrence, pas de pb pour n=0
Je suppose ensuite la propriété vérifiée au rang n, mais je coince un peu pour aboutir au rang n+1.

[aviateur]

Bonjour
D'après la propriété de h

Donc tu en tires
avec un peu d'inégalité triangulaire, tu appliques ton hypothèse de récurrence, tu majores par M
et ça doit marcher. Essayes un peu.

[math71]

Bonjour,
Merci!Je n'avais pas pensé que =+
On a donc h()-h(a)=
D'où:
et donc avec l'hypothèse de récurrence:

Or
Et ceci ne donne pas le résultat attendu puisque
n'est pas inférieur à -1
Où est le pb dans mon raisonnement?
Désolée pour les puissances n+1 mal faites, il faut que je prenne le temps dès que j'en aurai un peu pour voir comment faut faire puisque visiblement les parenthèses ce n'est pas la bonne méthode...

[aviateur]

Oui effectivement la majoration est trop forte.
|h(u/2^{n+1})| peut être majoré plus finement par mais la majoration reste trop forte encore.
Je regarde.
En attendant pour les exposants il faut écrire 2^{n+1} entre de balise tex

[math71]

Si j'ai bien compris, cette inégalité va servir pour montrer la continuité de h en a, pour a réel quelconque. Donc c'est sûr qu'en majorant par M c'est trop grand, il faut majorer par qqchose qui tende vers 0. Donc peut-être faut-il traiter en parallèle la continuité en 0 et en a et donc l'hypothèse de récurrence en 0 donnerait la majoration de qui tend vers 0. je vais essayer...

[math71]

Et merci pour le "truc" des exposants!

[aviateur]

Oui dans le message précédent que j'ai rectifié on peut majorer bien mieux ce terme mais c'est encore un peu trop.

[Ben314]

Là où je comprend pas trop la logique de celui qui a fait l'énoncé, c'est qu'à mon sens, une fois qu'on a démonré que , la "logique", ça me semble évidement d'en déduire que puis, si , en prenant l'entier relatif d'en déduire que : .

Et ensuite, ce que j'aurais fait, c'est de sommer de à les relations
de façon à obtenir

qui est aussi valable pour (il suffit d'appliquer la relation à )
Puis, si , en prenant tels que , on obtient que

Ce qui monte la continuité de et, à terme, permet de conclure que

[aviateur]

Oui je suis d'accord avec cette logique qu'il faudrait suivre. En effet l'inégalité n'est pas facile à montrer, alors personnellement je ne m'occuperais pas des questions intermédiaires et je suivrais mon idée en établissant des résultats assez évidents tirés des hypothèses.
Par exemple on peut montrer que h est paire et on peut montrer que et pour tout rationnel q.
Alors cela doit être utile.

[math71]

Merci à tous les 2 d'avoir cherché et de m'avoir aidé. Je vais admettre l'inégalité et continuer le DM comme cela, j'arrive à faire toutes les autres questions. Au-revoir.