Recursivité et formule explicite

[antoriche]

Bonjour à tous,

Etudiant pour mon examen de math, je reste calé sur un exercice et j'aimerais compter sur votre aide pour m'aider à comprendre

f(0) = 1
f(1) = 0
f(n) = 4f(n−1)−4f(n−2)
Donnez une formule explicite pour f(n).

Je cherche des informations dans mes notes et sur internet mais je ne trouve que des démonstrations

Si vous saviez me donner des pistes ou m'explique je vous serai reconnaissant

Merci

[Kolis]

Bonjour !
C'est le classique "récurrence double linéaire".
Tu cherches les solutions vérifiant .
Si l'équation (du second degré) donnant a deux racines distinctes tu auras .
Si est racine double tu auras .

Dans les deux cas tu trouves les constantes par les valeurs initiales.

[Robot]

Trouver une base de l'espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrence (coquille corrigée après la remarque de Kolis) pour tout , et exprimer la suite donnée comme combinaison linéaires des éléments de cette base.
On cherche d'habitude une base composée de suites géométriques en résolvant l'équation caractéristique (ici ) dont les solutions sont les raisons de telles suites satisfaisant la relation de récurrence. Ici la situation est un peu plus compliquée du fait que l'équation caractéristique a une racine double. Je te laisse creuser, tout ça est sûrement traité dans ton cours (encore faut-il l'avoir appris au fur et à mesure !)

Je laisse mon message, il complète un peu celui de Kolis

[Kolis]

Bonjour robot !
Je pense que le carré dans est de trop...

[Robot]

Merci, j'ai corrigé la coquille.