Nous posons
Partie A :n'est jamais entier.
S'ensuivent plusieurs questions intermédiaires, où l'on cherche par récurrence à établir que "s'écrit sous la forme
".
On recontre un blocage lorsqueimpair. Il est donc suggéré de construire une récurrence forte afin de débloquer la situation :
"On suppose que pour un certain n supérieur à 2, les réelsjusqu'à
s'écrivent tous sous une forme
.
Si n est pair, on sait que l'on obtient la forme voulue.
Si n est impair, écrivons-le n=2m+1, m entier supérieur à 1.
Vérifier que
"
Vérifier que ceci s'écrit encore
Kikoo <3 Bieber a écrit:Une petite aide please ?
Pour x réel, on poseet
...
Montrer pour tout n entier naturel, pour tout theta réel que
Kikoo <3 Bieber a écrit:Ca me fait bizarre de répondre à mes propres questions... :ptdr:
J'écris et j'espère que quelqu'un passera pour me dire si ce que j'ai fait est juste, j'ai pas envie de me planter tout seul., Il me faut montrer que
est une fonction polynômiale.
Cela revient à ce que je prouve ques'écrit sous la forme :
Or je sais que
Il faut alors désormais exhibercomme étant une somme de monômes en
.
Or :
Kikoo <3 Bieber a écrit:Une petite question dans la foulée.
Comment appelle-t-on le processus inverse de la linéarisation ? Je cherche à exprimer un cos(kx) en un polynôme deet
...
Kikoo <3 Bieber a écrit:Ah non, c'est bon je viens d'y arriver :girl2:
J'expose mon calcul si jamais quelqu'un en a besoin :
Pour n=0, on aet
Pour n=1, on a
Supposons désormais pour n et n+1 tels queque :
et
.
Montrons qu'au rang n+2 on a :
[CENTER][/CENTER]
On sait que :
Or :
Donc finalement nous aboutissons à la formule d'hypothèse.
Nous concluons la récurrence.
Nightmare a écrit:Ah c'est bon, je l'ai retrouvé sur wikipédia, il ne s'agit pas de 2^n mais de 2n.
Le critère :
Si P(1) vraie
Si P(n) vraie => P(2n) vraie
Si P(n+1) vraie => P(n) vraie
Alors P(n) vraie pour tout n.
La preuve n'est pas inintéressante à travailler. Voyez-vous un bon exercice d'application de cette récurrence particulière?
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