Réciproque Césaro

[Anonyme]

Bonsoir, je dois dans un exercice montrer que la réciproque du théorème de césaro est fausse. Pour cela on me dit, en prenant an=[u1+u2+...+un]/n

On suppose que la suite un(n différent de 0) est croissante. Montrer par l'absurde que la suite un est majorée par l.

Merci de votre aide.

[yos]

Bonsoir, je dois dans un exercice montrer que la réciproque du théorème de césaro est fausse.

Pour ça on exhibe une suite divergente u(n) telle que [u(1)+u(2)+...+u(n)]/n converge. Par exemple la suite (-1)^n.

On suppose que la suite un(n différent de 0) est croissante. Montrer par l'absurde que la suite un est majorée par l.

Qui est l ?

[Anonyme]

l est la limite de an ET un lorsque n tend vers + infini.

[yos]

Tout ça n'a aucun sens. Si la suite un est croissante et converge vers l , alors elle est évidemment majorée par l.

Revois ton énoncé ainsi que le théorème de Césaro. Je le répète, pour montrer que sa réciproque est fausse, on doit exhiber un contre-exemple.

[Galt]

Concernant la réciproque de Cesaro :
Elle est fausse dans le cas général (l'exemple convient bien).
En revanche, Si la suite est CROISSANTE et que la suite définie par converge vers une limite l, alors la suite converge vers l

[yos]

En effet, et c'est sans doute le fond de la question posée mais il faut absolument que les énoncés soient corrects et complets.

[Anonyme]

oui en effet j'ai mal formulé le problème, je reformule, on note an=[u1+u2 + ...+un]/n.
On suppose que la suite an converge vers le réel l. On se propose d'étudier une réciproque du théorème de césaro.

Seulement dans les questions précédentes j'ai déjà montré le cas (-1)^n.
Puis j'ai également montré que la suite un n'est pas nécessairement bornée, avec pour exemple la suite définie par un= p si n=p^3 et un = 0 sinon.

Dans la dernière question, on suppose en outre que la suite un est monotone, on pourra considérer, par exemple qu'elle est croissante. Montrer alors par l'absurde que la suite un est majorée par l.

[yos]

Si un terme u(N) est > l , il en va de même pour tous les suivants à cause de la croissance. Avec ça tu peux montrer qu'il existe N1>N tel que a(N1)>l . De plus on voit assez facilement que a(n) est aussi croissante. Donc tous les
a(n) à partir du rang N1 s'éloignent de l , ce qui est impossible car l est la limite.

Tout ça est laborieux et ne mène pas vite à la réciproque voulue.

Je propose autre chose :

u1+u2+...+un <= nun <= u(n+1)+u(n+2)+...+u(2n) à cause de la croissance.
D'où en divisant par n les trois membres :

a(n) <=un <= 2a(2n)-a(n)

Et tu appliques le théorème d'encadrement (des gendarmes on dit des fois).

[M.Floquet]

Désolé pour le up, mais si la suite est monotone on peut appliquer le théorème de la limite monotone puis utiliser le théorème de Cesàro et conclure avec l'unicité de la limite.