[L1] rayon convergence du DS de tangente

[mathelot]

Bjr,


Je ne sais comment calculer le rayon de convergence
du développement en série de la fonction tangente.

(DL de Taylor-Maclaurin)

merci d'avance.


PS: est ce qu'il suffit d'étudier

pour obtenir

car 1-\cos(x)=o(1) au voisinage de zéro.

[tize]

Salut mathelot :we:
Cela fait assez longtemps pour moi mais il me "semble" (à prendre avec de gros guillemets) qu'il y a un théorème d'analyse complexe qui dit un truc du genre : si f est DSE en 0 avec f(0) non nul alors 1/f est aussi DSE en 0 et le rayon de convergence de 1/f est inf(|z| ; z dans Z(f)) où Z(f) est l'ensemble des zéros de f...
Mais j'ai peut être rêvé tout ça...

[mathelot]

Bonsoir,


voilà une démo que



comme la série
converge pour |q|<1

la série de tan converge simplement pour -1 < 1-cos(x) <1
ie sur

est-ce correct ?

[Maxmau]

Bj

Ta « preuve » me laisse tout à fait perplexe

Je reprends l’argumentation de tize de manière légèrement différente
La fonction tan(z) = sin(z)/cos(z) est holomorphe dans le disque ouvert de rayon ;)/2 centré en l’origine. Cela parce le zéro de cos(z) le plus proche de l’origine est ;)/2.
Elle est donc développable en série entière de rayon R >= ;)/2. Ce rayon ne saurait être > ;)/2 puisque ;)/2 est un pôle de tan(z).

[tize]

Bonjour,
Pour Maxmau :
Je n'avais donc pas rêvé, aurais-tu une référence biblio de cette propriété s'il te plait, j'ai regardé dans mon vieux livre de prépa (Arnaudiès) sans rien trouver là dessus...

Pour Mathelot :
cela me semble possible oui, admet un DSE(0) avec un rayon de CV 1 et h(z)=1-cos(z) vaut 0 en 0 et admet un DSE(0) avec un rayon de CV infini, alors si <1 pour , fh est DSE(0) avec un rayon de CV au moins égal s

[Maxmau]

Bonjour,
Pour Maxmau :
Je n'avais donc pas rêvé, aurais-tu une référence biblio de cette propriété s'il te plait, j'ai regardé dans mon vieux livre de prépa (Arnaudiès) sans rien trouver là dessus...

Bonjour
D'une manière générale, dans tout cours (bouquin ou poly) de variable complexe.
A coup sûr, dans la vieille bible "théorie des fonctions" de Georges Valiron (chez Masson) .
Paragraphe 183: Formule fondamentale de cauchy, Existence de dérivées des fonctions holomorphes, série de Taylor
pages 367 ,368, 369

[tize]

Merci beaucoup pour la référence :we:

[mathelot]

Ta « preuve » me laisse tout à fait perplexe

l'anneau des séries formelles R[[X]] est bien expliqué dans Cartan
"théorie élémentaire des fonctions analytiques".

[Maxmau]

Bonjour,
[Pour Mathelot :
cela me semble possible oui, admet un DSE(0) avec un rayon de CV 1 et h(z)=1-cos(z) vaut 0 en 0 et admet un DSE(0) avec un rayon de CV infini, alors si <1 pour , fh est DSE(0) avec un rayon de CV au moins égal s

Bonjour
OK pour ton argumentation
Mais comment arriver à la valeur /2 ?
Mathelot me dit qu’on utilise des résultats sur les séries formelles (il faudrait que je complète mes connaissances en la matière car à part la définition et quelques résultats….et je n’ai pas le « CARTAN » sous la main)
Je signale qu’une preuve « « élémentaire » du résultat est dans :
Councours ESIM entrepreneur industrie – session 2003 – filière MP 6 épreuve de mathématiques II (analyse).
Ca se trouve facilement sur le net
Cordialement
Maxmau

PS : Dans le Cartan se trouve aussi une preuve de l’analycité des fonctions holomorphes

[tize]

Dans un message précédent (le #5) il suffit de remarquer (en gardant les même notation) tout convient, donc le rayon est au moins mais il ne peut être égal...

Georges Valiron, Cartan, autant de livres que je n'ai jamais lu...pour tout ce qui est complexe j'utilise : Complex Analysis de Serge Lang (il y a plein de belles figures)

[Maxmau]

merci je regarde ça