Theoreme Serie Entiere / Rayon de convergence

[Pxlafrip]

Bonjour à tous,

Ma question est simple : Il y a un théoréme dans les séries entières (la régle de d'Alembert) qui dit que :

Si Lim | A(n+1)/A(n) | = L (limite éventuellement infinie), alors le rayon de convergence est égal à 1/L.

Je voudrais simplement savoir si c'est réciproque ?

peut on affirmer que si le rayon de convergence est egal a R alors Lim de | A(n+1)/A(n) | = 1/R ?

Voila dans l'attente de vos réponses, merci d'avance

[emdro]

Bonjour,

En supposant que la limite du rapport existe, si elle était différente de 1/R, on démontrerait (en appliquant le théorème dans le bon sens cette fois) que le rayon ne serait pas R.

Maintenant, la limite n'existe pas nécessairement. Si je prends la série des x^(2n), tu vois que le coefficient vaut alternativement 1 et 0. La limite du quotient n'existe pas. Donc, a fortiori, n'est pas égale à 1.

Edit: bienvenu sur le forum :we:

[Pxlafrip]

merci de ta réponse si rapide.

donc si je comprend bien le théorème n'est pas réciproque car la limite | A(n+1)/A(n) | peux ne pas forcement exister alors que le rayon de convergence lui existe c'est ca?

[emdro]

Exact. :we: