Domaine d'holomorphie? rayon convergence de son dvlp de Tayl

[yippeekiyay]

Bonsoir,

Voici un exercice qui me parait réellement basique mais bon...je n'y arrive pas..



1) Domaine dans lequel f est holomorphe?

2) Rayon de convergence de son développement de Taylor en z=0?

je suis vraiment un peu perdu pour la 1) je ne vois pas vraiment la notion à utiliser... la derivabilité au sens complexe, Cauchy Riemann, ou exprimer f comme la somme d'une serie entiere...

pour la 2) je sais pas si je doit faire un développement de Taylor en 0
(cad f(0) + f'(0) x + 1/2(f''(0)) x^2 +....)
mais dans ce cas la comment trouver le rayon de convergence

si quelqu'un à des idées pour me faire avancer...

Merci

[Nightmare]

Salut !

Il n'y a pas à chercher bien loin pour la 1) c'est une composée de fonctions holomorphes sur le plan tout entier. Le seul problème est le pôle en -4 qu'on exclut alors du domaine.

[yippeekiyay]

ok, oué il fallai pas chercher trop loin pour la 1

pour la 2) aussi en fait je vient de lire que le rayon de convergence en un point et égal à la distance entre ce point et la singularité la plus proche si f est holomorphe... donc ici en z=0, R=4.

merci

[mathelot]

bonsoir,

il semble que s'annule.



donne les pôles
et

ps: ce n'est pas cos(z) au lieu de cos(x) ?

[mathelot]

pour la 2) aussi en fait je vient de lire que le rayon de convergence en un point et égal à la distance entre ce point et la singularité la plus proche si f est holomorphe...

tu es certain de ce théorème ? déja, ça serait f méromorphe.

donc içi, le rayon de convergence de la série de Taylor-Maclaurin serait .

Il y a un truc qui m'intrigue (je n'ai pas fait de fonctions analytiques
depuis plusieurs dizaines d'années), si l'on regarde avec les séries formelles
grosso modo, la seule série formelle que l'on développe est



en faisant apparaitre cette série dans f(z)



où la valuation de est supérieure ou égale à 1.

on obtiendrait le rayon avec les deux conditions
et
et en résolvant analytiquement avec z=x+iy la seconde condition,



en résolvant en x ce trinôme,


ça donne un petit domaine de convergence
du plan autour de l'origine, qui n'a rien à voir avec un disque (??)



c'est tout faux ce que j'écris ??

[Arkhnor]

Salut.

mathelot> Je n'ai pas regardé ton calcul en détail, mais le domaine de convergence d'une série entière ne peut être qu'un disque ...
Il y a un résultat sur la composition des séries entières, pour trouver le rayon de convergence.

tu es certain de ce théorème ? déja, ça serait f méromorphe.

Ce résultat est vrai, c'est une simple conséquence de la formule de Cauchy, et ça n'a rien à voir avec les fonctions méromorphes (c'est d'ailleurs encore valable pour )
On prend une fonction holomorphe sur un ouvert U, un point x appartenant à U, et le rayon de convergence de la série de Taylor en x sera plus grand ou égal à la distance entre x et le complémentaire de U. (il peut être plus grand, un exemple un peu idiot serait de considérer une fonction constante, définie sur un ouvert U qui ne serait pas le plan tout entier ...)
Pour savoir ensuite s'il est réellement égal à cette distance, on regarde si les points frontières de U où l'inf est atteint sont réguliers ou singuliers.