Rang d'une matrice inversible

par **kerst** » 26 Fév 2018, 14:54

Bonjour,
Si on a une matrice carrée A de taille n*n avec det(A) non nul, peut-on dire directement que rang(A)=n ?

Merci

par **Mimosa** » 26 Fév 2018, 15:06

Bonjour

Oui, bien sur.

par **Elias** » 26 Fév 2018, 16:15

En fait, la matrice

peut être vue comme la matrice d'une application linéaire

dans la base canonique

de

Si

est inversible, alors

est inversible, c'est à dire que

est bijective et donc en particulier

est une base de

. En notant

les matrices colonnes de A (qui sont en fait les coordonnées dans

des vecteurs

), on en déduit que le sous espace vectoriel

de

est de dimension

. Cela revient à dire (par définition) que

.