Le rang ?
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rifly01
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par rifly01 » 21 Avr 2008, 15:20
Bonjour,
J'aimerai avoir un peu d'aide pour cet exercice.
Soit
une application de
)
dans
qui à
associe
)
.
1 - Montrer que f est linéaire
2 - Donner le noyau de f
3 - donner le rang de f.
Ce que j'ai fait :
1. C'est fait
2. Je trouve que
 = \Big\{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\mbox{ tel que } A = ^tA\Big\})
3. En appliquant le théorème du rang, on obtient
=n^2=\mbox{Rg}(f)+\mbox{dim}\mbox{ker}(f)\Leftrightarrow <br />\mbox{Rg}(f)=n^2-\mbox{dim}\mbox{ker}(f))
mon problème c'est que je ne connais pas
)
Merci d'avance,
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Monsieur23
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par Monsieur23 » 21 Avr 2008, 15:29
Bonjour.
Autrement dit, Ker f est l'ensemble de matrices symétriques.
Tu n'as pas dans ton cours la dimension de cet espace ?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »
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rifly01
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par rifly01 » 21 Avr 2008, 15:44
Merci pour ta réponse,
Je savais que c'est l'ensemble des matrices symétriques. Dans mon cours, je la dimension de la base qui est
n}{2})
.
Si je suis bien. Je dois trouver que
 =\frac{1}{2}n^2-\frac{n}{2} = \frac{(n-1)n}{2})
.
par alavacommejetepousse » 21 Avr 2008, 15:50
bonjour
n'oublie pas de voir pendant que tu y es que Im f est l'ensemble des matrices antisymétriques
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rifly01
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par rifly01 » 21 Avr 2008, 16:48
Merci,
Tiens je vais essayer de le démontrer. On va vérifier qu'on a à faire à un projecteur. et utilisera la propriété suivante
 \Leftrightarrow X = f(X))
.
* Soit
)
,
)=f\Big[\frac{1}{2}\Big(A-^tA\Big)\Big]=\frac{1}{2}\Big[\frac{1}{2}\Big(A-^tA\Big)-^t\Big(\frac{1}{2}\Big(A-^tA\Big)\Big)\Big]= ... = f)
*
 \Leftrightarrow f(A)=A \Leftrightarrow \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}^tA-A=0\Leftrightarrow A=-^tA)
.
C'est bon ? Vos critiques sur la rédaction.
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Monsieur23
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par Monsieur23 » 21 Avr 2008, 17:20
C'est bon !
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rifly01
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par rifly01 » 21 Avr 2008, 17:38
Merci beaucoup aux participants !
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