Rang

[Vitlia]

Bonjour j’ai une question, surement un peu bête, mais je voudrais avoir un avis dessus.
C'est lorsque je veux étudier la position entre différents plans dans l’espace grâce aux équations cartésiennes respectives de ces plans.
Imaginons que dans ces équations apparaissent des paramètres et que je veux étudier la position des plans lorsque les paramètres varient.
Alors je place les coefficients des équations cartésiennes dans une matrice et j’étudie le rang entre la matrice et la matrice augmentée.
Alors dans ce cas pour connaitre le rang il vaut mieux :
1) que j'applique l’algorithme de gauss et après j’étudie quand les coefficients avec les paramètres s'annulent
Ou
2) Que j'étudie dès le départ quand les coefficients avec des paramètres s’annulent et ensuite j’applique l’algorithme de gauss.

[Ben314]

Comme toujours en math, il n'y a pas UNE méthode mais des tas de méthodes plus ou moins rapide et adaptées selon la façon dont le problème est posé.
Là, des deux choix que tu propose (mais il y en a d'autres...) le plus rapide va... dépendre de l'exercice...

A priori, dans la plupart des cas, on commence par appliquer l'algo. de gauss en commençant par prendre comme pivots des valeurs "constantes" (i.e. ne dépendant pas des paramètres) puis une fois qu'il n'y a plus d'éléments constant pouvant servir de pivot, on fait des "cas".
A noter qu'il est souvent astucieux de faire aussi des combinaisons linéaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaitre soit des 0, soit des "constantes" qui permettent d'aller plus loin sans faire de "cas particuliers".
A noter aussi qu'il est parfois préférable de calculer quelques sous déterminants bien choisis de la matrice pour en déduire son rang sans avoir à appliquer la méthode de gauss.

[Vitlia]

D'accord merci beaucoup, mais c'est vrai qu'il faut bien savoir manier la matrice parce que je me rend compte qu'on peut vite se perdre, merci pour les conseils.

[Vitlia]

Ah oui j'aurais voulu demander autre chose : je sais que si le rang de la matrice est 3 et le rang de la matrice augmentée est 4, on peut interpréter ça comme 4 plans qui se coupent formant deux droites mais comment sont c'est deux droites l'une par rapport à l'autre ?

[Ben314]

Je suis pas du tout certain de comprendre qui est ta matrice "de base" ni qui est ta "matrice augmentée".

Si je comprend bien, tu as 4 plans de l'espace E de dimension 3.
Il semblerais que tu connaisse les équations cartésiennes de ces 4 plans dans une certaine base de E qui sont toutes les 4 de la forme ax+by+cz=d.
Aprés, je suppose que ta matrice "de base" est la matrice 4x3 obtenue uniquement avec les a,b,c. Si c'est le cas, elle est de rang 3 ssi elle contient une sous-matrice 3x3 inversible, c'est à dire ssi parmi les 4 plans il y en a 3 dont l'intersection est réduite à un point (par contre le 4 em plan est totalement quelconque)
Je suppose aussi que ta "matrice augmentée", c'est la matrice 4x4 obtenu avec les a,b,c,d. Dire qu'elle est de rang 4 alors que la 4x3 est de rang 3 signifie que la 4em équation (avec sa constante d) n'est pas combinaison linéaire des 3 autres (les 3 qui se coupent en un unique point) donc cela signifie que le 4em plan ne passe pas par l'intersection des 3 autres.

Aprés, je vois vraiment pas qui c'est tes "deux droites" : partant de plans, pour former une droite, il faut deux plans (non parallèles) et parmi les 4 plans, il y a 6 façons d'en choisir 2 (nombre de façons de tirer deux éléments parmi 4).
Une façon plus visuelle de voir les chose, c'est de dire que 4 plans en "positions quelconques", ça fait un tétraèdre et un tétraèdre, ben ça a 6 arrêtes...
Aprés, est-ce que ces 6 arrêtes ce soupent ? ben, oui, certaines d'entre elles se coupent et les points d'intersection sont les intersections de 3 plans choisis parmi les 4 (4 façons de choisir 3 éléments parmi 4 -> 4 points).
Etces 4 points sont en fait les sommets du tétraèdre...

[Vitlia]

Oui pour la matrice et la matrice augmentée c'est ça.

Parce que dans mon cours c'est écrit que quand le rang de la matrice est 3 et celui de la matrice augmentée est 4 alors on est en présence de deux droites non coplanaires, qui ne sont pas parralèles, n'ont pas de points en communs et ne se coupent pas.

[Ben314]

[quote="Vitlia"]Oui pour la matrice et la matrice augmentée c'est ça.

Parce que dans mon cours c'est écrit que quand le rang de la matrice est 3 et celui de la matrice augmentée est 4 alors on est en présence de deux droites non coplanaires, qui ne sont pas parralèles, n'ont pas de points en communs et ne se coupent pas.[/QUOT
Effectivement, mais il faut préciser que si les 4 palns sont P1, P2, P3 et P4, alors les deux "fameuses" droites sont P1 inter P2 et P3 inter P4.
Sur le tétraèdre ABCD, ca correspond aux droites (AB) et (CD) qui ne sont pas coplanaires (ce qui IMPLIQUE qu'elle ne sont ni sécantes, ni parallèles)

[Vitlia]

D'accord merci beaucoup, et vu qu'elles ne sont pas sécantes, alors on peut chercher la distance entre les deux droites formées par P1 inter P2 et P3 inter P4 ?