Rang matrice et valeur propre

[JohnnySuave]

Bonjour,

Soit n un entier tel que n\geq 2, M\in M_{n}(R) et rg(M) = 1

je dois faire le lien entre ces informations et les renseignements sur le spectre et les sous-espaces propres, mais je bloque un peu

Je sais bien que x est valeur propre si A -xIn n'est pas inversible, mais comment le traduire sur le rang de (A -xIn) ?

[aviateur]

Bonjour
Si le rang est 1 le noyau est de dimension n-1. 0 est donc valeur propre d'ordre n-1 au moins.
Donc le polynôme caractéristique est . Evidemment ta matrice est diagonalisable sur R si .

[JohnnySuave]

j'y vois un peu plus clair merci, mais en fait je pense devoir démontrer que

or je n'y arrive que pour le sous-espace propre associé à 0 car je peux utiliser le théorème du rang, mais avec n'importe quel sous-espace propre je vois pas

[aviateur]

Je ne comprends rien à ce que tu dis.
Si on reste dans le cadre strict de cet exercice tout est simple,c'est inutile d'embrouiller les choses:
Je reprends: le th du rang dit que dim Ker f=n-1, ça veut exactement dire que 0 est valeur propre et le sous- espace propre est de dimension n-1.
De plus le polynôme caractéristique est de la forme mais en réfléchissant un peu a=tr(M).
Si alors tu as en tout :
2 valeurs propres: 0 d'ordre n-1 et d'ordre 1 (dont bien sûr le sev propre est de dimension 1. )

Si tr(M)=0 je te laisse discuter...

[JohnnySuave]

Merci mais je n'ai pas vu le polynôme caractéristique en cours, et effectivement c'est peut-être hors exercice mais demandé aussi, n'y-a-t-il pas d'autres méthodes pour montrer que de manière générale?

[aviateur]

Merci mais je n'ai pas vu le polynôme caractéristique en cours, et effectivement c'est peut-être hors exercice mais demandé aussi, n'y-a-t-il pas d'autres méthodes pour montrer que de manière générale?

Mais c'est une conséquence du théorème du rang. Il n'y a pas d'autre méthode. Sinon au cas par cas tu peux constater que c'est vrai. Mais ici ta matrice est générale...
Ce qui m'étonne c'est que tu parles de valeur propre alors que le polynôme caractéristique est complètement lié avec la notion de valeur propre.

Avec n=3 voici 1 exemples de matrices de rg=1


vp 0 et 2 car tr(M)=2

[JohnnySuave]

Pour l'exercice en soi je pense avoir compris

Le truc c'est que dans ce cas, on a 0 valeur propre donc on peut utiliser le théorème du rang ) en considérant M comme la matrice représentative de f dans la base canonique de Mn,1(R)

Or, donc ça tombe bien pour la suite

Mais lorsque la valeur propre est , le théorème du rang ne s'applique plus vu que ce n'est plus Ker(f) mais

Je sais pas si je suis clair