Racine n ieme d'un entier naturel

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 15:24

pourquoi la racine n ieme d'un entier naturel p est : naturel (relatif) ou bien irrationel? (avec n naturel)
est ce qu'il existe une généralisation pour ce résultat?
et merci d'avance

par **dudumath** » 29 Oct 2009, 15:42

si tu considères que tu as une racine rationnelle:

a=m/q avec m^q=1 et q<>1 ou -1

alors tu sais que a^n=p,

p divise forcément m^n

de plus tu as m^n=p*q^n, or m^n et q^n sont premiers entre eux d'après le théorème de Gausse donc m^n divise p

et finalement m^n=p et q^n=1 donc q= 1 ou -1 ce qui est exclut....

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 16:20

merci dudumath
votre démonstration est extraordinaire
mais je pense qu'il y a une généralisation de ce résultat par des polynomes a coefficients rationels.
mais je suis pas sur de l'expression de ses polynomes.

par **dudumath** » 29 Oct 2009, 16:28

De rien

Pour résoudre avec des polynômes, on peut poser

et chercher les racines, par l'absurde on retombe sur la démonstration précédente...

Je ne vois pas la généralisation recherchée, c'est déjà général ici puisque c'est valable pour tout naturel p

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 16:40

si je me rappelle ses polynome s'ecrivent en général sous la forme

P(X)=X^n+ a1X^n-1 +a2X^n-2 + a3X^n-3 + ......... + an
avec (ai) i decret{1,....,n} sont rationels

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 17:50

oui;
je pense que le dernier polynome est le plus convenable pour conclure une généralisation pour un racine n ieme d'un entier naturel.
pour la démonstration ca va étre toujour par l'absurde.
Merci une autre fois dudumaths

par **dudumath** » 29 Oct 2009, 19:52

je t'en prie, heureux d'avoir pu t'être utile !!

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 21:45

Merci une autre fois dudumaths

par **Timothé Lefebvre** » 29 Oct 2009, 21:47

Bonjour à toi aussi,

j'ai posté deux démonstrations il y a quelques jours :

Il suffit de montrer que [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] est entier s'il est rationnel.

On pose un raisonnement par l'absurde sur [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] rationnel et non-entier.
On a alors [img]images/latex/03c6765daa84135cce58c9c459a34add.gif[/img] et comme [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] non-entier on a b > 1.

On utilise alors la troisième assertion de mon message précédent.
En posant un x premier, si x divise [img]images/latex/02b39c4bea11d679ef78cad17231b4d8.gif[/img] alors il divise aussi a.

De là, on doit pouvoir conclure avec Gauss sur une absurdité avec la valeur de b.

---

Notre problème revient à énoncer les assertions suivantes :

[img]images/latex/ac4889913682c99e89b1e2980c4ce4d7.gif[/img]

Et

[img]images/latex/9a3d55b192acab0ace5ef8a05d0426b3.gif[/img]

Et

[img]images/latex/08607cfd25f994f0b7032b83ca6bec35.gif[/img]

Si [img]images/latex/3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.gif[/img] alors [img]images/latex/f2206ef6d5aa5dd53fe8cfc593712301.gif[/img] est une puissance nième parfaite.

Le cas a=1 est impossible.

On suppose a et b entiers supérieurs à 2 d'où [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] rationnel et m puissance entière parfaite.
Réciproquement, si m est une puissance parfait alors [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] est rationnel.

Si m n'est pas une puissance entière parfaite alors [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] irrationnel.

En conclusion on a :

[img]images/latex/9b1184a1fffd2c3bca1139119c22e966.gif[/img] puissance nième parfaite.

Si m non puissance nième parfaite alors [img]images/latex/348ac23bd083cc28c910ca1a45d0df05.gif[/img] est irrationnel.

par **Timothé Lefebvre** » 29 Oct 2009, 21:49

Bonjour à toi aussi,

j'ai posté deux démonstrations sur ça il y a quelques jours :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=94086

par **Hassanova** » 29 Oct 2009, 22:22

Salut Timothé Lefebvre
je suis nouveau membre dans votre forum
c'est pour cela je vu pas tes démonstrations.
Merci beaucoup pour les liens.

par **Timothé Lefebvre** » 29 Oct 2009, 22:24

Ce n'était pas un reproche :)

Je te souhaite la bienvenue ici !

PS : tu peux me tutoyer, je suis surement plus jeune que toi ;)

Bonne fin de soirée :)

Racine n ieme d'un entier naturel

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