Entier naturel

[liliane]

bonjour tt le monde voila un exercice qui me casse la tete
soit f une bijection de N* dans N*

Sn= ;) f(k)/k² de k=1 jusqu'a n


1- on montre que (1+2+..........+n)=1³+2³+.....+n³ c facil par recurrence
2- montrer que pour tout n de N* on a
2n
;) f(k) ;) n(n+1)/2
k=n+1

j'ai essaye par recurence mais
2n+2 2n
;) f(k) = ;) f(k) + f(2n+1)+f(2n+2)-f(n+1)
k=n+2 k=n+1
je sais pas comment se debarasser de f(2n+1)+f(2n+2)-f(n+1)
3-monter que S2n - Sn ;) 1/8
meme probleme

vraiment besoin de sugestions et merci d'avance

[busard_des_roseaux]

bonjour

soit une somme de p termes



comme les f(i) sont tous distincts et supérieurs ou égaux à 1,
a minima, la somme est nécessairement supérieure ou égale à 1+2+..+p.

question 2

avec
ce qui permet de factoriser

[kazeriahm]

Ce qui montre qu'une telle série ne converge pas, le résultat étant vrai si on suppose seulement f injective

[liliane]

bonjour



comme les f(i) sont tous distincts et supérieurs ou égaux à 1,
a minima, la somme est nécessairement supérieure ou égale à 1+2+..+p.

tt a fait logique mais comment le demontrer ?


merci pour les reponses

[Finrod]

comme les f(i) sont tous distincts et supérieurs ou égaux à 1,
a minima, la somme est nécessairement supérieure ou égale à 1+2+..+p.

Si les f(i) sont superieur à 1, tu obtiens que la somme est minoréé par =p ...

Le bon argument est à mon avis que l'on peut réordonner par ordre croissant les f(i) sans changer la valeur de la somme. On note gi les thermes de cette nouvelle somme. Ce coup-ci on a clairement gi > i-1 (par récurrence, c'est une suite strictement croissante dont le premier terme est superieur à 0).

(1+2+..........+n)=1³+2³+.....+n³

J'ai des doutes sur ce résultat.
Déjà, pour n=2, ça fait 3=9, c'est louche.

[liliane]

desole c
(1+2+..........+n)puissance 2=1³+2³+.....+n³
je vois pas pourquoi c'est pose dans l'exercice il ne sert je crois a rien
pour l'argument c'est tres convainquant il me reste de le bien rediger merci beaucoup