Un quotient de formes linéaires est-il continu ?

[belgarion87]

Bonjour,
je viens de lire le corrigé d'une question de la 1ère épreuve de maths du concours des Mines 2006, et j'ai du mal à comprendre...
A est une matrice de taille n strictement positive (tous ses coeffs sont strictement positifs). P est l'ensemble des matrices colonnes à coefficients positifs non tous nuls.
On a la fonction f qui va de P dans R et on a f(x)=max(Xi/(AX)i), pour i allant de 1 à n, Xi étant la i-ème coord de X. On aimerait montrer que f est continue. Le correcteur du sujet écrit : "f est continue, en tant que quotient de deux formes linéaires". Ca me semble un peu expéditif, et pas très évident... Quelqu'un pourrait m'éclairer un peu...?
Merci !

[yos]

Les applications X --> Xi et X--> AXi sont des formes linéaires (évident), donc leur quotient fi est continu. Et si on a des applications f1,...,fn continues et à valeur dans R, alors leur max est également continue (facile à prouver aussi).

[belgarion87]

"Les applications X --> Xi et X--> AXi sont des formes linéaires (évident)".
Ca d'accord.

"donc leur quotient fi est continu". C'est ça que je ne comprends pas, tu pourrais pas m'expliquer ? Surtout que ça doit être assez évident si le correcteur et toi vous balancez le résultat comme ça. Dejà, est-ce qu'un quotient de deux fonctions continues de R* dans R* est forcément continu ? Désolé de revenir si loin en arrière mais j'avoue avoir un doute...

"Et si on a des applications f1,...,fn continues et à valeur dans R, alors leur max est également continue (facile à prouver aussi)".
Bon ça oui, je conçois mieux.

[yos]

"donc leur quotient fi est continu". C'est ça que je ne comprends pas, tu pourrais pas m'expliquer ? Surtout que ça doit être assez évident si le correcteur et toi vous balancez le résultat comme ça. Dejà, est-ce qu'un quotient de deux fonctions continues de R* dans R* est forcément continu ? Désolé de revenir si loin en arrière mais j'avoue avoir un doute...

Le quotient de deux fcts numériques continues est continu. La continuité est compatible avec les 4 opérations et même la composition d'applications : on voit ça au lycée. Ici Ce sont bien des fonctions à valeurs dans R et le fait qu'elle soit définies sur un espace vectoriel normé au lieu de R ne change rien à ces résultats.

[belgarion87]

Donc en gros, ça donne :
Les applications X --> Xi et X--> (AX)i sont des formes linéaires.
Or en dimension finie, les applications linéaires sont continues.
Donc les applications X --> Xi et X--> (AX)i sont continues. De plus, X--> (AX)i ne s'annule pas (démontré à une question précédente).
Donc fi: X --> Xi/(AX)i est continue.
f(X)=max(fi(X)) donc f est elle aussi continue.

C'est ça ?

[yos]

Oui c'est bon.
La question du dénominateur qui s'annule est un problème d'ensemble de définition et n'a rien à voir avec la continuité. Quand on dit " le quotient de deux fcts continues est continu", on sous-entend "là ou ce quotient est défini".

[belgarion87]

OK merci bien !