À qui la chanceeeeee!

[joanie58]

Bonjour,

notre professeur nous a donné cet exercice à faire :

Montrer que la mesure extérieure dans R n’est pas additive.

Je ne sait vraiment pas comment faire... il faut dire que je ne comprend pas très bien la notion de mesure extérieure.

Pouvez-vous m'aider?
Merci

[mathelot]

bonjour,

si X est un sous-ensemble d'un espace topologique


approche le mieux X de l'extérieur


approche le mieux X de l'intérieur

p-e, tu dois choisir pour tes familles d'ensembles Y et Z des Boréliens.

imagination: imagine que tu veuilles mesurer le volume d'un oursin.
extérieurement, à cause de tous les piquants, tu ne peut que l'englober dans une grande sphère.
intérieurement, approcher son volume par le volume d'une petite sphère.
Entre les deux, il y a un grand nombre de piquants de volume non mesurable.

Maintenant si tu poses un oursin sur l'autre, tu vois que certaines parties
des sphères externes vont se compenser pour produire une figure en forme d'os.

maths: Considères un ensemble non mesurable Lebesgue X de [0;1]
avec une mesure extérieure de 1 et intérieure de 0 et son complémentaire Y

avec

comme exemple d'ensemble non mesurable Lebesgue, on quotiente l'intervalle [0.1] par la relation
, on considère un élément dans chaque classe.
La réunion de ces singletons n'est pas mesurable.

[joanie58]

Bonjour,

le professeur nous a donné l'indice suivant qui semble coincider avec ce que tu as écrit.

Pour un intervalle de longeur positive, considérons avec Ici la relation d’équivalence est définie pour comme suit : si et seulement si . Pensez à l’ensemble borné

(1)

Cet ensemble est contenu dans l’intervalle [;)3b, 3b]. Trouvez une (sous-)réunion finie contenue dans
(1) dont la mesure extérieure m* dépasserait m*([;)3b, 3b]) si m* était additive.

mais je n'arrive pas à trouver la sous-réunion finie en question